1 и 2 задание Интеграл и площадь, заранее . Полное решение и ответ.

Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам с решением задачи по интегралу и площади.

1. Задание: Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2x - x^2 и y = x - 2.

Для начала, нам нужно найти точки пересечения данных кривых. Это могут быть точки (x1, y1) и (x2, y2), где y1 = 2x1 - x1^2 и y2 = x2 - 2.

Итак, для начала, приравняем уравнения:
2x1 - x1^2 = x2 - 2

Теперь приведем уравнение к каноническому виду:
-x1^2 + 2x1 = x2 - 2

Теперь приравняем оба выражения, чтобы получить квадратное уравнение:
x1^2 - 2x1 + 2 = x2 - 2

x1^2 - 2x1 - x2 + 4 = 0

Используя квадратное уравнение, мы можем найти значения x1 и x2:
x1 = (2 ± √(4 - 4(1)(-x2 + 4)))/(2(1))
x1 = (2 ± √(4 + 4x2 - 16))/(2)
x1 = 1 ± √(x2 + 1)

Теперь мы найдем площадь фигуры, используя следующую формулу:
Площадь = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx, где f(x) - верхняя граница фигуры, g(x) - нижняя граница фигуры, [a, b] - интервал значений x.

Заметим, что нам нужно интегрировать по интервалу, где x1 ≤ x ≤ x2.
Таким образом, площадь может быть выражена как:
Площадь = ∫[x1,x2] (f(x) - g(x)) dx = ∫[x1,x2] ((2x - x^2) - (x - 2)) dx

Мы можем упростить данное выражение:
Площадь = ∫[x1,x2] (2x - x^2 - x + 2) dx
Площадь = ∫[x1,x2] (-x^2 + x + 2) dx

Теперь необходимо вычислить интеграл. Для этого найдем первообразную данной функции:
F(x) = (-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 2x

Применимо формулу Ньютона-Лейбница, получим:
Площадь = F(x2) - F(x1)
Площадь = [(-1/3)x2^3 + (1/2)x2^2 + 2x2] - [(-1/3)x1^3 + (1/2)x1^2 + 2x1]

Теперь подставляем найденные значения x1 и x2, которые мы нашли первоначально:
Площадь = [(-1/3)(1 + √(x2 + 1))^3 + (1/2)(1 + √(x2 + 1))^2 + 2(1 + √(x2 + 1))] - [(-1/3)(1 - √(x2 + 1))^3 + (1/2)(1 - √(x2 + 1))^2 + 2(1 - √(x2 + 1))]

Это и есть окончательное решение задачи. Вы можете просто подставить конкретные значения x1 и x2, чтобы получить точное числовое значение площади фигуры.

2. Задание: Найдите определенный интеграл ∫[0,π/2] (sin(x) + cos(x)) dx.

Для этой задачи, сначала найдем первообразные для функций sin(x) и cos(x):
∫ sin(x) dx = -cos(x) + C1
∫ cos(x) dx = sin(x) + C2

Теперь мы можем рассчитать определенный интеграл:
∫[0,π/2] (sin(x) + cos(x)) dx = [(-cos(x) + C1) + (sin(x) + C2)] [по границам 0 и π/2]
= (-cos(π/2) + C1 + sin(π/2) + C2) - (-cos(0) + C1 + sin(0) + C2)
= (-0 + C1 + 1 + C2) - (-1 + C1 + 0 + C2)
= (C1 + C2) - (C1 + C2)
= 0

Таким образом, значение определенного интеграла ∫[0,π/2] (sin(x) + cos(x)) dx равно 0.

Я надеюсь, что данное объяснение позволит вам понять и решить данные задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!