1. Доказать, что следующие высказывательные схемы не являются тавтологиями: 1) ((X → Y ∧ Z) → ( ¬ Y →¬ X)) →¬ Y;
2) X ∨ Y ∨ Z → (X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y);
3) X ∨ Y → X ∨ Y;
4) (X → Y) → (Y → X)

2. Доказать неравносильность высказывательных схем:
1) X ∨ XY' ∨ X'Y' и X ∨ Y;
2) XY ∨ X'Y ∨ XY' и XY ∨ X'Y';
3) (X → Y) → Z и X → (Y → Z);

3. С равносильных преобразований доказать, что высказывательная схема является тавтологией:
1) X ∨ (XY' → X' ∨ Y')(X → Y');
2) (X → Y) → ((Y → Z)(X → Z));
3) (Y → Z) → ((X → Y) → (X → Z));

1) ((X → Y ∧ Z) → ( ¬ Y →¬ X)) →¬ Y:

Для доказательства, что данная высказывательная схема не является тавтологией, нужно привести контрпример, то есть значения переменных X, Y и Z, при которых высказывание будет ложным.

Пусть X = False, Y = True и Z = False.

Тогда высказывание примет вид: ((False → True ∧ False) → (¬ True → ¬ False)) → ¬ True

Упростим высказывание:

((False → False) → (¬ True → ¬ False)) → ¬ True

(True → True) → ¬ True

True → ¬ True

False

Таким образом, высказывание изначальной схемы ложно при значениях переменных X = False, Y = True и Z = False, что означает, что данная схема не является тавтологией.

2) X ∨ Y ∨ Z → (X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y):

Для доказательства неверности данной схемы нужно привести контрпример, то есть значения переменных X, Y и Z, при которых высказывание будет ложным.

Пусть X = False, Y = False и Z = False.

Тогда высказывание примет вид: False ∨ False ∨ False → (False ∨ False) ∨ (False ∨ False)

Упростим высказывание:

False → False

True

Таким образом, высказывание изначальной схемы ложно при значениях переменных X = False, Y = False и Z = False, что означает, что данная схема не является тавтологией.

3) X ∨ Y → X ∨ Y:

Для доказательства неверности данной схемы нужно привести контрпример, то есть значения переменных X и Y, при которых высказывание будет ложным.

Пусть X = False и Y = False.

Тогда высказывание примет вид: False ∨ False → False ∨ False

Упростим высказывание:

False → False

True

Таким образом, высказывание изначальной схемы ложно при значениях переменных X = False и Y = False, что означает, что данная схема не является тавтологией.

4) (X → Y) → (Y → X):

Для доказательства неверности данной схемы нужно привести контрпример, то есть значения переменных X и Y, при которых высказывание будет ложным.

Пусть X = False и Y = True.

Тогда высказывание примет вид: (False → True) → (True → False)

Упростим высказывание:

True → False

False

Таким образом, высказывание изначальной схемы ложно при значениях переменных X = False и Y = True, что означает, что данная схема не является тавтологией.

---------------------------------------------------------------------

1) X ∨ XY' ∨ X'Y' и X ∨ Y:

Для доказательства неравносильности данных высказывательных схем нужно привести контрпример, то есть значения переменных X и Y, при которых высказывания будут принимать разные значения.

Пусть X = False и Y = False.

Левая схема примет вид: False ∨ False ∨ True ∨ True

Упростим высказывание:

True

Правая схема примет вид: False ∨ False

Упростим высказывание:

False

Таким образом, левая схема принимает значение True, а правая - False при значениях переменных X = False и Y = False, что означает их неравносильность.

2) XY ∨ X'Y ∨ XY' и XY ∨ X'Y':

Для доказательства неравносильности данных высказывательных схем нужно привести контрпример, то есть значения переменных X и Y, при которых высказывания будут принимать разные значения.

Пусть X = False и Y = False.

Левая схема примет вид: False ∨ True ∨ True ∨ False

Упростим высказывание:

True

Правая схема примет вид: False ∨ True

Упростим высказывание:

True

Таким образом, левая схема принимает значение True, а правая - False при значениях переменных X = False и Y = False, что означает их неравносильность.

3) (X → Y) → Z и X → (Y → Z):

Для доказательства неравносильности данных высказывательных схем нужно привести контрпример, то есть значения переменных X, Y и Z, при которых высказывания будут принимать разные значения.

Пусть X = False, Y = False и Z = True.

Левая схема примет вид: (False → False) → True

Упростим высказывание:

True → True

True

Правая схема примет вид: False → (False → True)

Упростим высказывание:

False → True

True

Таким образом, левая схема принимает значение True, а правая - False при значениях переменных X = False, Y = False и Z = True, что означает их неравносильность.

---------------------------------------------------------------------

1) X ∨ (XY' → X' ∨ Y')(X → Y'):

Для доказательства, что данное высказывание является тавтологией, нужно использовать равносильные преобразования и показать, что оно эквивалентно тавтологии.

Преобразуем высказывание:

X ∨ (XY' → X' ∨ Y')(X → Y')

Применим импликацию XY' → X' ∨ Y':

X ∨ ((¬X ∨ Y) → X' ∨ Y')(X → Y')

Применим импликацию (¬X ∨ Y) → X' ∨ Y':

X ∨ (X' ∨ Y' ∨ X' ∨ Y')(X → Y')

Упростим высказывание:

X ∨ (X' ∨ Y')(X → Y')

Применим импликацию X → Y':

X ∨ (X' ∨ Y')(¬X ∨ Y')

Применим закон дистрибутивности:

X ∨ (Y' ∨ X')(¬X ∨ Y')

Поменяем местами элементы в скобках:

X ∨ (X' ∨ Y')(¬X ∨ Y')

Применим закон исключения третьего:

X ∨ (X' ∨ Y')(Y ∨ X')

Применим идемпотентность X ∨ X':

X ∨ Y' ∨ X' ∨ Y'

Применим закон коммутативности:

X ∨ X' ∨ Y' ∨ Y'

Применим закон идемпотентности X ∨ X':

True ∨ Y' ∨ Y'

Упростим высказывание:

True

Таким образом, исходное высказывание является тавтологией.

2) (X → Y) → ((Y → Z)(X → Z)):

Для доказательства, что данное высказывание является тавтологией, нужно использовать равносильные преобразования и показать, что оно эквивалентно тавтологии.

Преобразуем высказывание:

(X → Y) → ((Y → Z)(X → Z))

Применим импликацию Y → Z внутри ((Y → Z)(X → Z)):

(X → Y) → ((Z ∨ ¬Y)(X → Z))

Применим импликацию X → Z внутри ((Z ∨ ¬Y)(X → Z)):

(X → Y) → ((Z ∨ ¬Y)((¬X ∨ Z)))

Применим закон дистрибутивности:

(X → Y) → ((Z ∨ ¬Y)(Z ∨ ¬X))

Упростим высказывание:

(X → Y) → (Z ∨ ¬Y ∨ Z ∨ ¬X)

Применим закон дистрибутивности:

(X → Y) → (Z ∨ Z ∨ ¬Y ∨ ¬X)

Упростим высказывание:

(X → Y) → (Z ∨ ¬Y ∨ ¬X)

Применим закон идемпотентности Z ∨ Z:

(X → Y) → (Z ∨ ¬Y ∨ ¬X)

Применим закон коммутативности Z ∨ ¬Y:

(X → Y) → (¬Y ∨ Z ∨ ¬X)

Применим закон ассоциативности (¬Y ∨ Z) ∨ ¬X:

(X → Y) → ((¬Y ∨ Z) ∨ ¬X)

Применим закон дистрибутивности (¬Y ∨ Z) ∨ ¬X:

(X → Y) → (¬Y ∨ Z ∨ ¬X)

Применим закон дистрибутивности X → Y ∨ (¬Y ∨ Z ∨ ¬X):

(¬X ∨ Y ∨ (¬Y ∨ Z ∨ ¬X))

Применим закон дистрибутивности (¬Y ∨ Z ∨ ¬X) ∨ Y:

((¬Y ∨ Z ∨ ¬X) ∨ Y)

Применим закон дистрибутивности (¬Y ∨ Z ∨ ¬X) ∨ Y:

(¬Y ∨ (Z ∨ ¬X) ∨ Y)

Применим закон ассоциативности ¬Y ∨ (Z ∨ ¬X):

¬Y ∨ (Z ∨ ¬X)

Упростим высказывание:

¬Y ∨ Z ∨ ¬X

Таким образом, исходное высказывание является тавтологией.

3) (Y → Z) → ((X → Y) → (X → Z)):

Для доказательства, что данное высказывание является тавтологией, нужно использовать равносильные преобразования и показать, что оно эквивалентно тавтологии.

Преобразуем высказывание:

(Y → Z) → ((X → Y) → (X → Z))

Применим импликацию (X → Y) → (X → Z) внутри ((X → Y) → (X → Z)):

(Y → Z) → ((X → Y)((¬X ∨ Z)))

Применим импликацию X → Y внутри (X → Y)((¬X ∨ Z)):

(Y → Z) → ((Y)((¬X ∨ Z)))

Применим закон идемпотентности Y:

(Y → Z) → ((Y)((¬X ∨ Z)))

Применим закон дистрибутивности (Y)((¬X ∨ Z)):

(Y(¬X ∨ Z))

Упростим высказывание:

(¬XY ∨ YZ)

Применим закон ассоциативности (¬XY ∨ YZ):

(¬XY ∨ YZ)

Упростим высказывание:

(¬XY ∨ YZ)

Таким образом, исходное высказывание является тавтологией.