1)Даны точки K(0; - 2; 1), E (√2; - 1 ; 2),D ( 0 ; - 2; 2 ), P ( 0; - 3; 1).Найти угол между векторами KE и PD.

Хорошо, давайте начнем.

Для нахождения угла между векторами KE и PD, нам необходимо найти их скалярное произведение и использовать его для вычисления угла.

1. Найдем вектор KE. Для этого вычтем координаты точки K из координат точки E:
KE = E - K = (√2 - 0; -1 - (-2); 2 - 1) = (√2; 1; 1).

2. Найдем вектор PD. Для этого вычтем координаты точки P из координат точки D:
PD = D - P = (0 - 0; -2 - (-3); 2 - 1) = (0; 1; 1).

3. Найдем скалярное произведение векторов KE и PD. Для этого умножим соответствующие координаты векторов и сложим полученные произведения:
KE · PD = (√2 * 0) + (1 * 1) + (1 * 1) = 0 + 1 + 1 = 2.

4. Теперь у нас есть скалярное произведение векторов KE и PD: KE · PD = 2.

5. Вычислим длины векторов KE и PD. Для этого возведем в квадрат соответствующие координаты векторов, сложим полученные квадраты и извлекаем корень из суммы:
|KE| = √(√2^2 + 1^2 + 1^2) = √(2 + 1 + 1) = √4 = 2,
|PD| = √(0^2 + 1^2 + 1^2) = √(0 + 1 + 1) = √2.

6. Теперь мы можем вычислить косинус угла между векторами KE и PD, используя формулу для скалярного произведения и длин векторов:
cos(θ) = (KE · PD) / (|KE| * |PD|),
где θ - искомый угол.

В нашем случае: cos(θ) = 2 / (2 * √2) = 1 / √2 = √2 / 2.

7. Найдем значение угла θ, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):
θ = arccos(cos(θ)) = arccos(√2 / 2).

Итак, получаем, что угол между векторами KE и PD равен θ = arccos(√2 / 2).

Округлим значение угла до нескольких десятичных знаков:
θ ≈ arccos(√2 / 2) ≈ 45°.

Ответ: угол между векторами KE и PD равен примерно 45 градусов.