№1 Дано: Е(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Найти: а) координаты векторов EF, GH б) длину вектора FG
в) координаты точки О – середины EF, координаты точки W – середины GH
г ) уравнение окружности с диаметром FG(Подсказка: найдите сначала центр-середина диаметра и радиус – половина длины диаметра)
е) уравнение прямой FH (Подсказка: используйте уравнение у=кх+в, подставьте обе точки и решите систему двух уравнений, а потом запишите уравнение ввиде ах+ву+с=0)
№2 Дано: A(1;1), B(4;2), C(5;5), D(2;4).
Доказать, что ABCD – параллелограмм.( Подсказка: использовать признак параллелограмма)
№3 Окружность задана уравнением
(x+2)2+(y-5)2=18.Принадлежит ли этой окружности точка M(-5;2)?

№1
а) Чтобы найти координаты векторов EF и GH, нужно вычислить разность координат соответствующих конечной и начальной точек.

EF = F - E = (-4) - 4; (-10) - 12 = (-8; -22)
GH = H - G = 4 - (-2); (-2) - 6 = (6; -8)

б) Чтобы найти длину вектора FG, нужно использовать формулу длины вектора, которая выглядит так:
|FG| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты начальной и конечной точек вектора соответственно.

|FG| = sqrt((-4 - 6)^2 + (-10 - (-8))^2) = sqrt((-10)^2 + (-2)^2) = sqrt(104)

в) Чтобы найти координаты точки O – середины вектора EF, нужно вычислить среднее арифметическое значений соответствующих координат начальной и конечной точек вектора EF.

Ox = (4 + (-4)) / 2 = 0 / 2 = 0
Oy = (12 + (-10)) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, координаты точки O – (0; 1).

Аналогично, для точки W – середины вектора GH:
Wx = (6 + (-2)) / 2 = 4 / 2 = 2
Wy = ((-8) + (-2)) / 2 = (-10) / 2 = -5

Координаты точки W – (2; -5).

г) Чтобы найти уравнение окружности с диаметром FG, нужно найти координаты центра окружности (середину диаметра) и радиус (половину длины диаметра).

Координаты центра окружности можно найти так:
Cx = (x1 + x2) / 2, где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты начальной и конечной точек диаметра FG.
Cy = (y1 + y2) / 2

Cx = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1
Cy = (-10 - 8) / 2 = (-18) / 2 = -9

Координаты центра окружности – (1; -9).

Радиус равен половине длины диаметра, то есть равен:

R = |FG| / 2 = sqrt(104) / 2

Таким образом, уравнение окружности с диаметром FG будет выглядеть так:

(x - 1)^2 + (y + 9)^2 = (sqrt(104) / 2)^2

е) Чтобы найти уравнение прямой FH, можно использовать уравнение прямой вида y = kx + b,
где k - наклон прямой, b - точка пересечения с осью у.

Найдем k, используя формулу наклона прямой:
k = (y2 - y1) / (x2 - x1),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек F и H соответственно.

k = (-2 - (-10)) / (4 - 4) = 8 / 0 = бесконечность (так как знаменатель равен нулю)

Поскольку наклон прямой бесконечный, значит прямая FH параллельна оси x.
Значит, уравнение прямой FH будет иметь вид x = c, где c - координата x точки F или H.

№2
Чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Для этого можно проверить, что коэффициенты наклона прямых, содержащих противоположные стороны AB и CD, равны.
А также проверить, что расстояния между соответствующими точками противоположных сторон AB и CD равны.

Найдем наклоны прямых AB и CD, используя формулу наклона прямой:
k = (y2 - y1) / (x2 - x1),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B (и соответственно C и D).

k_AB = (2 - 1) / (4 - 1) = 1 / 3
k_CD = (4 - 5) / (2 - 5) = -1 / -3 = 1 / 3

Так как k_AB = k_CD, значит противоположные стороны AB и CD параллельны.

Теперь найдем длины сторон AB и CD, используя формулу длины отрезка:
|AB| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B (и соответственно C и D).

|AB| = sqrt((4 - 1)^2 + (2 - 1)^2) = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(10)
|CD| = sqrt((5 - 2)^2 + (5 - 4)^2) = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(10)

|AB| = |CD|, что означает, что противоположные стороны AB и CD равны.

Таким образом, ABCD - параллелограмм, так как противоположные стороны параллельны и равны по длине.

№3
Для проверки, принадлежит ли точка M окружности с уравнением (x+2)^2+(y-5)^2=18, нужно подставить координаты точки M в уравнение окружности и проверить, выполняется ли оно.

(x+2)^2+(y-5)^2 = 18
((-5)+2)^2+(2-5)^2 = 18
(-3)^2+(-3)^2 = 18
9 + 9 = 18
18 = 18

Результат равенство 18 = 18 верно. Значит, точка M принадлежит данной окружности.