1. Дано: ∠A = ∠B, СО = 4, DO = 6, АО = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ, б) АС, BD: в) SAOC, SBOD. 2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 1 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK МК = 8 см, MN = 12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если ∠A = 80°, ∠B = 60°.
3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК||АС, ВМ : AM = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.
4. * В трапеции ABCD (AD и ВС основание) диагонали пересекаются в точке О, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см2.
Средний 60-80б
1. Дано: АО = 6,8 см, СО = 8,4 см, ОВ = 5,1 см, OD = 6,3 см (рис. 7.56).
Доказать: АС||BD. Найти: a) DB : АС, б) PAOC : PDBO, в) SDBO : SAOC.
2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, BD = 16 см. На стороне АВ взята точка К так, что ОК ⊥ АВ и ОК = 4√3 см. Найдите сторону ромба и вторую диагональ.
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = 9 см, ВС = 8 см, CD = 16 см, AD = 6 см, BD = 12 см. Докажите, что ABCD — трапеция.
4. * В равнобедренном треугольнике MNK с основанием МК, равным 10 см, MN = NK = 20 см. На стороне NK лежит точка А так, что AК : AN =1 : 3. Найдите AM.

1.
а) Чтобы найти ОВ, нужно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника SOD:
OD^2 = OS^2 + SD^2 - 2*OS*SD*cos(∠SOD)

У нас уже есть значения для OD и SD, и нам известно, что ∠SOD = 90° (так как OD ⊥ SD). Подставляя значения, получаем:
6^2 = OS^2 + 4^2 - 2*OS*4*cos(90°)
36 = OS^2 + 16 - 8OS
20 = OS^2 - 8OS

Далее, заметим, что ∠A = ∠B, что означает, что треугольники AOS и BOD подобны. Поэтому, соотношение сторон этих треугольников должно быть одинаково:
AO/BO = OS/OD
5/√(OS^2 + 5^2) = OS/6

Решаем это уравнение относительно OS:
5*6/√(OS^2 + 5^2) = OS
30/√(OS^2 + 25) = OS
900 = OS^2 + OS^2 + 25
2OS^2 = 875
OS^2 = 437.5
OS = √437.5

Подставляем полученное значение OS в первоначальное уравнение и находим ОВ:
20 = (√437.5)^2 - 8OS
20 = 437.5 - 8√437.5
8√437.5 = 437.5 - 20
8√437.5 = 417.5
√437.5 = 417.5/8
ОВ = √437.5 - 4

б) Чтобы найти АС, нужно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника SDO:
SD^2 = SO^2 + OD^2 - 2*SO*OD*cos(∠SDO)

У нас уже есть значения для SD и OD, и нам известно, что ∠SDO = 90° (так как OD ⊥ SD). Подставляя значения, получаем:
4^2 = 6^2 + OS^2 - 2*OS*6*cos(90°)
16 = 36 + OS^2 - 12OS
-20 = OS^2 - 12OS

Далее, заметим, что ∠A = ∠B, что означает, что треугольники AOS и BOD подобны. Поэтому, соотношение сторон этих треугольников должно быть одинаково:
AO/BO = OS/OD
5/√(OS^2 + 5^2) = OS/6

Решаем это уравнение относительно OS:
5*6/√(OS^2 + 25) = OS
30/√(OS^2 + 25) = OS
900 = OS^2 + OS^2 + 25
2OS^2 = 875
OS^2 = 437.5
OS = √437.5

Подставляем полученное значение OS в первоначальное уравнение и находим АС:
-20 = (√437.5)^2 - 12OS
-20 = 437.5 - 12√437.5
12√437.5 = 437.5 + 20
12√437.5 = 457.5
√437.5 = 457.5/12
АС = √437.5 - 6

в) Чтобы найти периметр треугольника SAOC, мы должны сложить длины его сторон SA, AO и OC. Нам уже известны длины AO (5) и OC (8.4), поэтому нам нужно найти длину стороны SA. Для этого нам понадобятся углы ∠A и ∠B, и теорема синусов:
SA/sin(∠SAC) = AO/sin(∠A)
SA/sin(∠SAC) = 5/sin(∠A)

Так как нам известны углы ∠A и ∠B и они равны, получаем:
SA/sin(∠SAC) = 5/sin(∠A)
SA/sin(∠SAC) = 5/sin(∠B)

Так как sin(∠A) = sin(∠B), можно упростить это уравнение:
SA/sin(∠SAC) = 5/sin(∠A)
SA/sin(∠SAC) = 5/sin(∠B)
SA*sin(∠B) = 5*sin(∠SAC)

Теперь мы можем найти длину стороны SA:
SA = (5*sin(∠SAC))/sin(∠B)

аналогичным образом, чтобы найти периметр треугольника SBOD, мы должны сложить длины его сторон SB, BO и OD. Нам уже известны длины BO (5.1) и OD (6.3), поэтому нам нужно найти длину стороны SB. Для этого мы можем использовать теорему синусов или использовать тот же подход, что и для нахождения стороны SA. Полученные значения можно подставить и найти периметры треугольников SAOC и SBOD.

2. В данной задаче нам дано два треугольника АВС и MNK.

а) Чтобы найти углы треугольника MNK, нам понадобятся теоремы синусов и косинусов. Так как углы ∠A и ∠B заданы, мы можем найти ∠C, используя свойство суммы углов треугольника:
∠C = 180° - ∠A - ∠B
∠C = 180° - 80° - 60°
∠C = 40°

Теперь, используя теорему синусов для треугольника MNK, мы можем найти соответствующие стороны треугольника:
MN/sin(∠M) = NK/sin(∠N)
MN/sin(80°) = 14/sin(40°)

Решаем это уравнение относительно MN:
MN*sin(40°) = 14*sin(80°)
MN = (14*sin(80°))/sin(40°)

3. Чтобы найти периметр треугольника ВМК, нам нужно сложить длины его трех сторон. Нам известны стороны ВМ (выраженная отношением 1:4) и АС (6 см), а также периметр треугольника АВС (25 см).

Мы можем представить сторону ВМ в виде 4x и x (например, если сторона ВМ равна 4 см, то сторона МК равна 1 см). Затем мы можем использовать периметр треугольника АВС, чтобы составить уравнение:
AB + BC + AC = 25
4x + x + 6 = 25
5x + 6 = 25
5x = 19
x = 19/5

Теперь мы можем найти стороны ВМ и МК:
ВМ = 4x = 4*(19/5)
ВМ = 76/5
МК = x = 19/5

И, наконец, периметр треугольника ВМК:
Периметр ВМК = ВМ + ВК + МK
Периметр ВМК = (76/5) + (76/5) + (19/5)
Периметр ВМК = 171/5

4. Чтобы найти площадь треугольника ВОС, нам понадобятся значения его сторон BO и ВС и известная площадь треугольника AOD.

Мы уже знаем длину стороны ВС (4 см), поэтому нам нужно найти длину стороны ОС и высоту треугольника ОВС относительно стороны ВС. Для этого мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Знаем, что треугольники AOD и BOC подобны, так как ∠O и ∠D равны.

Сначала находим длину стороны AC с использованием теоремы косинусов для треугольника AOC:
AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2*AO*OC*cos(∠AOC)
AC^2 = 5^2 + 8.4^2 - 2*5*8.4*cos(∠AOC)

Затем находим длину стороны OS с использованием свойства подобных треугольников AOD и BOC:
AO/OC = DO/COS(∠AOC)
5/8.4 = 6/OS
OS = (8.4 * 6) / 5

Используя соотношение сторон треугольников AOD и BOC, мы можем получить следующее соотношение площадей:
Площадь ВОС / Площадь AOD = (ВC^2) / AD^2
Площадь ВОС = (Площадь AOD * (ВC^2)) / AD^2

Мы знаем площадь AOD (45 см^2) и сторону ВС (4 см), поэтому можем найти площадь ВОС:
Площадь ВОС = (45 * (4^2)) / 6^2

5. В другом варианте задачи у нас уже есть значения сторон АО (6.8 см), CO (8.4 см), ОВ (5.1 см) и OD (6.3 см).

а) Чтобы доказать, что АС || BD, мы можем использовать свойство подобных треугольников AOS и BOD. Если соотношение сторон этих треугольников одинаково, то мы можем утверждать, что АС || BD:
AO/BO = OS/OD
6.8/5.1 = OS/6.3

Решаем это уравнение относительно OS:
6.8*6.3 = 5.1*OS
42.84 = 5.1*OS
OS = 42.84/5.1

Подставляем полученное значение OS в уравнение и находим отношение DB к АС:
DB/АС = OD/OS
DB/АС = 6.3/(42.84/5.1)

б) Чтобы найти отношение PAOC к PDBO, нужно поделить площади этих двух треугольников:
PAOC : PDBO = S_PAOC / S_PDBO

в) Чтобы найти отношение SDBO к SAOC, нужно поделить площади этих двух треугольников:
SDBO : SAOC = S_SDBO / S_SAOC

6. В данной задаче нам дан ромб ABCD с известным значением BD и точкой K на стороне AB.

Если мы знаем, что ОК ⊥ АВ и ОК = 4√3 см, то мы можем рассмотреть треугольник ОКВ, где ОВ - сторона ромба. Мы знаем одну сторону (ОК) и одну высоту (ОК ⊥ АВ), поэтому можем использовать формулу для площади треугольника:
Площадь ОКВ = 0.5 * ОВ * 4√3

Затем мы можем рассмотреть треугольник ОКD, где ОD - вторая диагональ ромба. Зная одну диагональ (BD) и расстояние между диагоналями (ОК), мы можем применить теорему Пифагора:
OD^2 = BD^2 - ОК^2

Мы знаем BD (16 см) и ОК (4√3 см), поэтому можем найти OD:
OD = √(BD^2 - ОК^2)

7. Для доказательства, что ABCD является трапеци