1. Бросают симметричную монету два раза. Одинаковы ли вероятности событий «два раза выпал орел» и «при одном броске выпал орел, а при другом — решка»?

2. Бросают две игральных кости: желтую и зеленую. Вычислите вероятность события:
а) «сумма очков на обеих костях равна 7»;
б) «сумма очков на обеих костях больше 8, и на зеленой кости выпало больше двух очков»;
в) «на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой»;

3. Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что произведение выпавших очков чётно. Найдите вероятность события:
а) «при одном из бросков выпало 5 очков»;
б) «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков»;

4. При игре в «Морской бой» после первого вашего выстрела противник сообщил, что вы подбили какой-то корабль (но не потопили его). Какова вероятность того, что вы попали:
а) в четырёхпалубный корабль;
б) в трёхпалубный;
в) в двухпалубный?

5. В городе N пять улиц. Две из них идут параллельно друг другу с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток. Любые две улицы разных направлений пересекаются. Утром два постовых случайным образом встали на два разных перекрестка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице.

7

1. Для решения этой задачи нам необходимо рассмотреть все возможные исходы. У нас есть 2 броска монеты, поэтому есть 4 возможных исхода: ОО, РР, ОР и РО.

Событие "два раза выпал орел" соответствует исходу ОО, а событие "при одном броске выпал орел, а при другом - решка" соответствует исходам ОР и РО.

Теперь, чтобы узнать, одинаковы ли вероятности событий, нужно посчитать вероятность каждого события.

Вероятность события "два раза выпал орел" равна 1/4, так как только один исход из четырех соответствует этому событию.

Вероятность события "при одном броске выпал орел, а при другом - решка" равна 2/4, так как два исхода из четырех соответствуют этому событию.

Таким образом, вероятности этих событий не равны.

2. а) Чтобы вычислить вероятность события "сумма очков на обеих костях равна 7", нужно посчитать количество исходов, которые удовлетворяют этому условию, и разделить его на общее количество возможных исходов.

Существует 6 комбинаций, где сумма очков на обеих костях равна 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
Общее количество возможных исходов - 36 (так как на каждой кости 6 возможных значений).

Таким образом, вероятность события "сумма очков на обеих костях равна 7" равна 6/36 или 1/6.

б) Чтобы вычислить вероятность события "сумма очков на обеих костях больше 8, и на зеленой кости выпало больше двух очков", нужно определить количество исходов, которые удовлетворяют этому условию, и разделить его на общее количество возможных исходов.

Есть 9 комбинаций, где сумма очков на обеих костях больше 8 и на зеленой кости выпало больше двух очков: (3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5).

Общее количество возможных исходов - 36.

Таким образом, вероятность события "сумма очков на обеих костях больше 8, и на зеленой кости выпало больше двух очков" равна 9/36 или 1/4.

в) Чтобы вычислить вероятность события "на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой", нужно определить количество исходов, которые удовлетворяют этому условию, и разделить его на общее количество возможных исходов.

Есть 15 комбинаций, где на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой: (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5).

Общее количество возможных исходов - 36.

Таким образом, вероятность события "на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой" равна 15/36 или 5/12.

3. а) Для решения этой задачи нужно определить количество исходов, которые удовлетворяют условию "при одном из бросков выпало 5 очков", и разделить его на общее количество возможных исходов.

Есть 5 комбинаций, где при одном из бросков выпало 5 очков: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5).

Общее количество возможных исходов - 36.

Таким образом, вероятность события "при одном из бросков выпало 5 очков" равна 5/36.

б) Чтобы определить вероятность события "в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков", нужно определить количество исходов, которые удовлетворяют этому условию, и разделить его на общее количество возможных исходов.

Есть 16 комбинаций, где в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5).

Общее количество возможных исходов - 36.

Таким образом, вероятность события "в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков" равна 16/36 или 4/9.

4. Для решения этой задачи нам необходимо использовать условную вероятность.

а) Чтобы определить вероятность попадания в четырехпалубный корабль после того, как мы подбили корабль, нужно определить вероятность попадания в четырехпалубный корабль при условии, что мы подбили какой-то корабль.

Пусть событие A - подбили какой-то корабль, и событие B - попали в четырехпалубный корабль. Мы хотим найти вероятность события B при условии события A, то есть P(B|A). Это равно количеству попаданий в четырехпалубный корабль при условии, что мы уже подбили какой-то корабль, деленное на количество случаев, когда мы подбили какой-то корабль.

Предположим, что существует 10 разных кораблей, и каждый из них равновероятно может быть подбит. Пусть четырехпалубный корабль является одним из 10 кораблей, тогда вероятность того, что мы попали в четырехпалубный корабль, равна 1/10. Таким образом, P(B|A) = 1/10.

б) Применим аналогичное рассуждение для трехпалубного корабля. Пусть P(D|C) обозначает вероятность попадания в трехпалубный корабль, при условии, что мы уже подбили какой-то корабль. В этом случае имеется 3 возможных трехпалубных корабля среди 10, поэтому P(D|C) = 3/10.

в) Аналогично, P(E|C) обозначает вероятность попадания в двухпалубный корабль при условии, что мы уже подбили какой-то корабль. Если среди 10 кораблей 2-палубных, то вероятность попадания в них равна 2/10 или 1/5.

5. Для решения этой задачи нам нужно определить количество исходов, где оба постовых стоят на одной улице, и разделить его на общее количество возможных исходов.

Есть 2 улицы, и постовые могут находиться на любом одном перекрестке из 5 возможных. Таким образом, мы имеем 5 возможных мест для первого постового и 4 возможных места для второго постового.

Общее количество возможных исходов - 5 * 4 = 20.

Таким образом, вероятность того, что оба постовых стоят на одной улице, равна 20/20 или 1.