1.15. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) по контуру треугольнику, полученного в результате пересечения плоскости (p): Ах+Ву+Сz=D с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора n=(A, B, C) этой плоскости двумя : 1) использовав определение циркуляции; 2) с формулы Стокса.​

Для решения задачи нам необходимо вычислить циркуляцию векторного поля а(М) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости (p): Ах+Ву+Сz=D с координатными плоскостями.

1) Используя определение циркуляции:
Циркуляция векторного поля а(М) по замкнутому контуру равна интегралу по контуру от скалярного произведения вектора а(М) на элемент длины контура dl.
Циркуляция обычно обозначается символом C.

Таким образом, циркуляцию можно вычислить следующим образом:
C = ∮ a(М) · dl,

где ∮ обозначает интеграл по замкнутому контуру.

В данном случае контур представляет собой треугольник, обозначим его как ABC.

2) С использованием формулы Стокса:
Формула Стокса позволяет связать циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру с площадью, ограниченной этим контуром, и с поверхностным интегралом второго рода, вычисленным векторным произведением нормального вектора к поверхности и векторного поля a(М).

Таким образом, формула Стокса выглядит следующим образом:
C = ∮ a(М) · dl = ∬ (curl a) · dS,

где ∮ обозначает интеграл по замкнутому контуру, ∬ обозначает двойной интеграл по площади поверхности, curl a - это ротор векторного поля a(М), а dS - элемент площади поверхности.

Давайте рассмотрим оба метода подробнее.

1) Используя определение циркуляции:
Для вычисления циркуляции нам необходимо проинтегрировать скалярное произведение вектора а(М) на элемент длины контура dl по всему контуру.

Для начала, разобьем контур триангуляции на отрезки. Обозначим вершины треугольника как A, B и C.

Тогда, интеграл циркуляции по контуру ABC можно записать следующим образом:
C = ∫AB a(М) · dl + ∫BC a(М) · dl + ∫CA a(М) · dl,

где ∫ обозначает интеграл по отрезку.

Теперь разобьем интегралы по отрезкам на компоненты. Для каждого компонента a(М) посчитаем значение на соответствующем отрезке и умножим на длину отрезка.

Например, для интеграла ∫AB a(М) · dl вычислим a(М) на отрезке AB и умножим на длину отрезка AB.

То же самое проделаем и для двух других интегралов.

После вычисления трех компонентов сложим их значения и получим значение циркуляции векторного поля а(М) по контуру ABC.

2) С использованием формулы Стокса:
Альтернативным способом вычисления циркуляции является использование формулы Стокса.

В нашем случае, формула Стокса позволяет нам выразить циркуляцию через поверхностный интеграл второго рода по площади поверхности, ограниченной контуром ABC, и ротор векторного поля a(М).

Сначала необходимо вычислить ротор векторного поля a(М). Для этого, найдем его частные производные по координатам x, y и z и вычислим векторное произведение этих производных:
curl a = (∂a_z/∂y - ∂a_y/∂z, ∂a_x/∂z - ∂a_z/∂x, ∂a_y/∂x - ∂a_x/∂y).

После вычисления ротора, мы получаем векторное поле в виде координат (x, y, z). Теперь можно подставить полученное выражение для ротора, а также площадь поверхности, ограниченной контуром ABC, и вычислить поверхностный интеграл второго рода.

Зная значение поверхностного интеграла и ротора, мы можем вычислить значение циркуляции векторного поля а(М) по контуру ABC.

Оба метода позволяют вычислить циркуляцию векторного поля а(М) по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости (p): Ах+Ву+Сz=D с координатными плоскостями. Окончательное значение циркуляции будет зависеть от конкретного векторного поля а(М) и от значений коэффициентов A, B, C и D плоскости (p).