С какими трудностями столкнулась Католическая церковь в конце 10 11 века? В чём заключалась обновление Церкви предложенное сторонниками Клюнийского движения?

Если брать "чисто" католиков, то как раз в X-XI веках никаких "трудностей" католическая церковь не испытывала, скорее даже наоборот. Это был период, который заложил мощный фундамент абсолютного господства католичества в Европе на несколько сотен лет. Христианство в целом, да, испытывало трудности. Был окончательно оформлен раскол между православными и католиками.

Трудности для католиков были раньше, в IX веке. Рухнула (распалась) единая империя Карла Великого, вместе с ним распалась и единая церковь. Примерно как распался СССР и появились "автокефальные" церкви в бывших союзных республиках, независимые от Москвы. Одновременно с распадом Империи участились набеги на Европу - викинги (норманы), венгры, арабы. Уничтожались, сжигались церкви, убивали священников, прихожан. А церковь, в понятии простого народа Бог, ничего этому противопоставить не могли. Авторитет церкви рушился. Началось и "духовное разложение" - торговля церковными должностями, вплоть до самого верха. Однако к X веку католики сумели выправить положение. Основой возрождения церкви стали монастыри. Конечно, всё это был тяжелый труд, но скоро католическая церковь стала обладать такой властью, что могла назначать и снимать королей с престолов.