4. Решите уравнения: a) A +B+(B → (C + D)) = 0;
6) (A →C)+B. A +D=0;
B) (A+C) → (B+C + D) = 0;
) (A →C)+B.C.A+D=0;
A) ((B+C). A) + ((A +C)+D) = 0;
e) (A →C) (A →C) (A →(C.B.D)) = 1​

a)
A + B + (B → (C + D)) = 0

Шаг 1: Разберемся с (B → (C + D))
(B → (C + D)) = (¬B ∨ (C + D))

Шаг 2: Подставим значение (B → (C + D)) обратно в исходное уравнение
A + B + (¬B ∨ (C + D)) = 0

Шаг 3: Упростим уравнение
(A + B + ¬B) ∨ (A + B + (C + D)) = 0
(A ∨ (A + B + (C + D))) = 0
(A ∨ (A + B + C + D)) = 0

Шаг 4: Рассмотрим случаи значений A и B
1) Если A = 0 и B = 0, то уравнение становится: (0 ∨ (0 + 0 + C + D)) = 0
(0 ∨ C + D) = 0
Любое значение C и D удовлетворяет этому уравнению, так как (0 ∨ 1) = 1 и (0 ∨ 0) = 0

2) Если A = 0 и B = 1, то уравнение становится: (0 ∨ (0 + 1 + C + D)) = 0
(0 ∨ 1 + C + D) = 0
Любое значение C и D удовлетворяет этому уравнению, так как (0 ∨ 1) = 1 и (0 ∨ 0) = 0

3) Если A = 1 и B = 0, то уравнение становится: (1 ∨ (1 + 0 + C + D)) = 0
(1 ∨ 1 + C + D) = 0
C и D должны быть равны 0, так как иначе мы получим 1, а не 0

4) Если A = 1 и B = 1, то уравнение становится: (1 ∨ (1 + 1 + C + D)) = 0
(1 ∨ 1 + C + D) = 0
C и D должны быть равны 0, так как иначе мы получим 1, а не 0

Итак, чтобы уравнение A + B + (B → (C + D)) = 0 выполнялось, нужно, чтобы значения C и D были равны 0.

b)
(A → C) + B.A + D = 0

Шаг 1: Факторизуем выражение (A → C)
(A → C) = (¬A ∨ C)

Шаг 2: Подставим значение (A → C) обратно в исходное уравнение
(¬A ∨ C) + B.A + D = 0

Шаг 3: Упростим уравнение
(¬A + C + B.A) + D = 0
(C + ¬A + B.A) + D = 0
(C + A.¬B + B.A) + D = 0

Шаг 4: Упрощаем выражение (C + A.¬B + B.A)
(C + A.¬B + B.A) = (C + A.¬B + A.B)
(C + A(¬B + B)) = (C + A) = 0

Шаг 5: Упростим уравнение
(C + A) + D = 0

Шаг 6: Упрощаем выражение (C + A + D)
(C + A + D) = (C + D + A)

Итак, чтобы уравнение (A → C) + B.A + D = 0 выполнялось, нужно, чтобы значения C, D и A были равны 0.

c)
(A + C) → (B + C + D) = 0

Шаг 1: Разложим выражение (A + C)
(A + C) = (¬A ∨ ¬C ∨ (A + C))

Шаг 2: Подставим значение (A + C) обратно в исходное уравнение
(¬A ∨ ¬C ∨ (A + C)) → (B + C + D) = 0

Шаг 3: Упростим уравнение
(¬A ∨ ¬C ∨ (A + C)) → (B + C + D) = 0
(¬A ∨ ¬C) ∨ (A + C) → (B + C + D) = 0
(¬A ∨ ¬C) ∨ (B + C + D) = 0

Шаг 4: Рассмотрим случаи значений A, B и C
1) Если A = 0, B = 0 и C = 0, то уравнение становится: (¬0 ∨ ¬0) ∨ (0 + 0 + D) = 0
(1 ∨ 1) ∨ D = 0
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 1) = 1

2) Если A = 0, B = 0 и C = 1, то уравнение становится: (¬0 ∨ ¬1) ∨ (0 + 1 + D) = 0
(1 ∨ 0) ∨ (1 + D) = 0
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 0) = 1

3) Если A = 0, B = 1 и C = 0, то уравнение становится: (¬0 ∨ ¬0) ∨ (0 + 0 + D) = 0
(1 ∨ 1) ∨ (0 + D) = 0
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 1) = 1

4) Если A = 0, B = 1 и C = 1, то уравнение становится: (¬0 ∨ ¬1) ∨ (0 + 1 + D) = 0
(1 ∨ 0) ∨ (1 + D) = 0
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 0) = 1

5) Если A = 1, B = 0 и C = 0, то уравнение становится: (¬1 ∨ ¬0) ∨ (1 + 0 + D) = 0
(0 ∨ 1) ∨ (1 + D) = 0
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (0 ∨ 1) = 1

6) Если A = 1, B = 0 и C = 1, то уравнение становится: (¬1 ∨ ¬1) ∨ (1 + 1 + D) = 0
(0 ∨ 1) ∨ (1 + D) = 0
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (0 ∨ 1) = 1

7) Если A = 1, B = 1 и C = 0, то уравнение становится: (¬1 ∨ ¬0) ∨ (1 + 0 + D) = 0
(0 ∨ 1) ∨ (1 + D) = 0
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (0 ∨ 1) = 1

8) Если A = 1, B = 1 и C = 1, то уравнение становится: (¬1 ∨ ¬1) ∨ (1 + 1 + D) = 0
(0 ∨ 1) ∨ (1 + D) = 0
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (0 ∨ 1) = 1

Итак, чтобы уравнение (A + C) → (B + C + D) = 0 выполнялось, D может быть любым значением.

d)
(A → C) + B.C.A + D = 0

Шаг 1: Факторизуем выражение (A → C)
(A → C) = (¬A ∨ C)

Шаг 2: Подставим значение (A → C) обратно в исходное уравнение
(¬A ∨ C) + B.C.A + D = 0

Шаг 3: Упростим уравнение
(¬A + C + B.C.A) + D = 0
(C + ¬A + B.C.A) + D = 0
(C + A.¬B + B.C.A) + D = 0

Шаг 4: Упрощаем выражение (C + A.¬B + B.C.A)
(C + A.¬B + B.C.A) = (C + A.¬B + A.B.C)
(C + A(¬B + B.C)) = (C + A.C) = 0

Шаг 5: Упростим уравнение
(C + A.C) + D = 0

Шаг 6: Упрощаем выражение (C + A.C + D)
(C + A.C + D) = (C + D)

Итак, чтобы уравнение (A → C) + B.C.A + D = 0 выполнялось, нужно, чтобы значения C и D были равны.

e)
(A → C) (A → C) (A → (C.B.D)) = 1

Шаг 1: Подставим значения в уравнение
(¬A ∨ C) (¬A ∨ C) (¬A ∨ (C.B.D)) = 1

Шаг 2: Упростим уравнение
(¬A ∨ C) (C.B.D) = 1

Шаг 3: Упростим выражение (¬A ∨ C)
(¬A ∨ C) = (¬A ∨ C.1) = (¬A ∨ C.¬B.B)

Шаг 4: Подставим значение (¬A ∨ C.¬B.B) обратно в исходное уравнение
(¬A ∨ C.¬B.B) (C.B.D) = 1

Шаг 5: Рассмотрим случаи значений A, B и C
1) Если A = 0, B = 0 и C = 0, то уравнение становится: (¬0 ∨ 0.¬0.0) (0.0.0) = 1
(¬0 ∨ 0) (0.0.0) = 1
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 0) = 1

2) Если A = 0, B = 0 и C = 1, то уравнение становится: (¬0 ∨ 1.¬0.0) (1.0.0) = 1
(¬0 ∨ 0) (1.0.0) = 1
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 0) = 1

3) Если A = 0, B = 1 и C = 0, то уравнение становится: (¬0 ∨ 0.¬1.1) (0.1.0) = 1
(¬0 ∨ 0) (0.1.0) = 1
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 0) = 1

4) Если A = 0, B = 1 и C = 1, то уравнение становится: (¬0 ∨ 1.¬1.1) (1.1.0) = 1
(¬0 ∨ 1) (1.1.0) = 1
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 1) = 1

5) Если A = 1, B = 0 и C = 0, то уравнение становится: (¬1 ∨ 0.¬0.0) (0.0.0) = 1
(¬1 ∨ 0) (0.0.0) = 1
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 0) = 1

6) Если A = 1, B = 0 и C = 1, то уравнение становится: (¬1 ∨ 1.¬0.1) (1.0.1) = 1
(¬1 ∨ 1) (1.0.1) = 1
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 1) = 1

7) Если A = 1, B = 1 и C = 0, то уравнение становится: (¬1 ∨ 0.¬1.1) (0.1.0) = 1
(¬1 ∨ 0) (0.1.0) = 1
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 0) = 1

8) Если A = 1, B = 1 и C = 1, то уравнение становится: (¬1 ∨ 1.¬1.1) (1.1.1) = 1
(¬1 ∨ 1) (1.1.1) = 1
Любое значение D удовлетворяет этому уравнению, так как (1 ∨ 1) = 1

Итак, чтобы уравнение (A → C) (A → C) (A → (C.B.D)) = 1 выполнялось, значения A, B, C и D не имеют значения.