1. Какая из данных логических функций является тождественно ложной?
• ¬ (A  (B  A))
• ¬ A  ¬ B
• ¬ A  ¬B
• ¬ A  A  B

2. Логическое выражение ¬ Y  ¬ (( X  Y)  ¬ Y)  X  ¬ Y максимально упрощается до выражения
• X  Y
• ¬ Y
• X
• 1

3. A, B и C – целые числа, для которых истинно высказывание:

(C < A  C < B)  ¬ (C+1 < A)  ¬ (C+1 < B)

Чему равно C, если A=45 и B=18?

ответ:

4. Каково наибольшее целое положительное число X, при котором ложно высказывание:

(X·(X+1) > 55)  (X·X > 50)

ответ:

5. Сколько различных решений имеет уравнение

¬M  K  ¬N  ¬J  (L  ¬L) = 0,

где J, K, L, M, N – логические переменные?

ответ:

1. Для решения данной задачи первым делом нужно проанализировать каждую из данных логических функций и определить, являются ли они тождественно ложными или нет.

а) ¬ (A  (B  A)): для выражения A  (B  A) истинно тождественное высказывание (это достигается при A = Ложь и B = Истина), а отрицание этого высказывания, то есть ¬ (A  (B  A)), будет ложным.

б) ¬ A  ¬ B: если A = Ложь и B = Истина, то это высказывание будет истинным. Поэтому оно не является тождественно ложным.

в) ¬ A  ¬B: при A = Ложь и B = Истина, это выражение истинно. Поэтому оно не является тождественно ложным.

г) ¬ A  A  B: если A = Ложь, то ¬ A = Истина, а выражение A  B всегда будет Ложью. Значит, данное высказывание является тождественно ложным.

Таким образом, ответом на первый вопрос является ¬ A  A  B.

2. Теперь проанализируем логическое выражение ¬ Y  ¬ (( X  Y)  ¬ Y)  X  ¬ Y и упростим его:

а) ¬ Y  ¬ (( X  Y)  ¬ Y): внутри скобок у нас есть конъюнкция X  Y и ¬ Y, которая является истинной только в случае, если и X, и Y являются ложными. Тогда это выражение можно упростить до ¬ Y  ¬ (Ложь  ¬ Y).

б) ¬ Y  ¬ (Ложь  ¬ Y): здесь мы имеем конъюнкцию Ложь  ¬ Y, которая всегда является ложной. Поэтому это выражение упрощается до ¬ Y  Ложь.

в) ¬ Y  Ложь: в данном случае имеем дизъюнкцию ¬ Y и Ложь, которая всегда будет истинной. Поэтому исходное логическое выражение максимально упрощается до Ложь.

Таким образом, ответом на второй вопрос является Ложь.

3. Для вычисления значения переменной C в данном высказывании, нужно подставить значения A = 45 и B = 18.

Высказывание (C < A  C < B)  ¬ (C+1 < A)  ¬ (C+1 < B) можно разбить на три части:

а) C < A  C < B: здесь мы сравниваем C с A и B. При подстановке A = 45 и B = 18 мы получаем C < 45  C < 18, что эквивалентно C < 18.

б) ¬ (C+1 < A): в данном случае мы сравниваем C+1 с A. При подстановке A = 45 мы получаем ¬ (C+1 < 45), что эквивалентно C+1 ≥ 45. Если вычтем 1 из обеих сторон, получим C ≥ 44.

в) ¬ (C+1 < B): аналогично предыдущему пункту, здесь мы сравниваем C+1 с B. При подстановке B = 18 мы получаем ¬ (C+1 < 18), что эквивалентно C+1 ≥ 18. Если вычтем 1 из обеих сторон, получим C ≥ 17.

Таким образом, мы получили, что C < 18, C ≥ 44 и C ≥ 17. Следовательно, наше значение для C должно удовлетворять всем этим условиям. Единственным числом, удовлетворяющим всем данным условиям, является C = 45.

Ответом на третий вопрос будет C = 45.

4. Для нахождения наибольшего целого положительного числа X, при котором ложно высказывание (X·(X+1) > 55)  (X·X > 50), нужно проанализировать каждую часть высказывания:

а) X·(X+1) > 55: если мы умножим X на (X+1), и это произведение будет больше 55, то данная часть высказывания будет истинной. Поэтому нам нужно найти такое значение X, при котором X·(X+1) ≤ 55.

б) X·X > 50: если мы умножим X на X, и это произведение будет больше 50, то данная часть высказывания будет истинной. Поэтому нам нужно найти такое значение X, при котором X·X ≤ 50.

Теперь мы можем анализировать данные условия:

а) X·(X+1) ≤ 55: решим данное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения X·(X+1) = 55. Получим X² + X - 55 = 0. Решая это уравнение, получим X ≈ 7,6 и X ≈ -8,6. Так как нам нужно найти наибольшее положительное число, возьмем X ≈ 7,6 или округлим до ближайшего целого числа, получим X = 8.

б) X·X ≤ 50: решим данное неравенство. Получим X² ≤ 50. Корень квадратный из 50 приближенно равен 7,07. Значит, X ≤ 7.

Таким образом, наше значение X должно быть между 8 и 7. Максимальное целое положительное значение X будет X = 7.

Ответом на четвертый вопрос будет X = 7.

5. Для нахождения количества различных решений уравнения:
¬M  K  ¬N  ¬J  (L  ¬L) = 0, где J, K, L, M, N – логические переменные, нужно проанализировать каждую часть выражения:

а) ¬M: для данного слагаемого исходное выражение будет Истина только при M = Ложь.

б) K: данное слагаемое встречается просто в виде переменной K.

в) ¬N: для данного слагаемого исходное выражение будет Истина только при N = Ложь.

г) ¬J: для данного слагаемого исходное выражение будет Истина только при J = Ложь.

д) (L  ¬L): данное слагаемое представляет собой дизъюнкцию L и ¬L, которая всегда будет истинной.

Теперь анализируем: ¬M  K  ¬N  ¬J  (L  ¬L) = 0.

Получаем, что Истина должна быть равна 0, что означает, что все слагаемые в данном выражении должны быть Ложью.

Таким образом, уравнение имеет только одно решение: M = Ложь, K = Ложь, N = Ложь, J = Ложь, L = Ложь.

Ответом на пятый вопрос будет одно решение.