Заполните пропуски в тексте, чтобы получилось правильное решение. Задача. На биссектрисе угла ABC выбраны точки M и N. Точки P и Q — проекции M и N на лучи BA и BC соответственно. Точка X — середина отрезка MN. Докажите, что PX=QX.

Решение. Пусть точка P′ симметрична точке P относительно прямой MN.

Из симметрии
∠MP′B=

∠BPX

∠BPN

90∘
,
поэтому четырёхугольник MP′QN является
Выбрать
. Опустим из точки X перпендикуляр на прямую BA, обозначим его основание через Y. Отрезок XY является средней линией трапеции MP′QN, поскольку точка X является серединой отрезка MN и
Выбрать
. Следовательно, точка Y является серединой отрезка P′Q и точка X лежит на серединном перпендикуляре к P′Q. Все точки на серединном перпендикуляре равноудалены от концов отрезка, поэтому XP′=XQ. Осталось ещё раз воспользоваться симметрией и заметить, что

MP=MP′

NP=NP′

XP=XP′
.

Это сириус

Здравствуйте! Давайте рассмотрим решение данной задачи.

В задаче говорится, что на биссектрисе угла ABC выбраны точки M и N. То есть, точка M находится на отрезке BA, а точка N находится на отрезке BC. Также есть точки P и Q, которые являются проекциями точек M и N соответственно на лучи BA и BC. Точка X — это середина отрезка MN.

Доказать необходимо, что PX = QX.

Начнем решение задачи.

Пусть точка P′ симметрична точке P относительно прямой MN.

Из симметрии, углы ∠MP′B и ∠BPX - это одинаковые углы. Аналогично, ∠BPN и ∠BPX - это одинаковые углы. Также, ∠BPX является прямым углом (равен 90 градусам).

Это означает, что четырехугольник MP′QN является прямоугольником (так как содержит прямой угол).

Теперь опустим из точки X перпендикуляр на прямую BA и обозначим его основание через Y.

Так как точка X является серединой отрезка MN, а ∠BXN равняется 90 градусам, то отрезок XY является средней линией трапеции MP′QN. Также, является фактом, что ∠XPY является прямым углом.

Значит, точка Y является серединой отрезка P′Q. Важно отметить, что точка X лежит на серединном перпендикуляре к P′Q. Все точки на серединном перпендикуляре равноудалены от концов отрезка, поэтому XP′=XQ.

Осталось лишь воспользоваться симметрией и заметить, что MP=MP′, NP=NP′ и XP=XP′.

Таким образом, получаем, что PX = QX.

Таким образом, мы доказали, что PX равно QX.

Надеюсь, это решение понятно и доступно вам. Если есть ещё вопросы, пожалуйста, задавайте!