Заданы вершины тетраэдра А(-1;-5;2) B(-6;0;-3) C(3;6;-3) D(-10;6;7) Найти:
1) длину биссектрисы угла В
2) координаты центра треугольника ABC

Давайте начнем с первого вопроса - нахождения длины биссектрисы угла В.

1) Чтобы найти длину биссектрисы угла В, нам нужно понять, что это является половиной длины сегмента биссектрисы, который делит угол В пополам. Для этого нам понадобится найти координаты точки пересечения биссектрисы угла В с прямой BD. Воспользуемся формулой для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки:

Уравнение прямой проходящей через точки A и B:
x - x₁ y - y₁ z - z₁
------- = ------- = -------
x₂ - x₁ y₂ - y₁ z₂ - z₁

Подставим координаты точек A(-1;-5;2) и B(-6;0;-3) в формулу и найдем уравнение прямой BD:
x - (-1) y - (-5) z - 2
-------- = -------- = --------
(-6) - (-1) 0 - (-5) (-3) - 2

x + 1 y + 5 z - 2
------- = ------- = -------
-5 5 -5

Теперь найдем уравнение плоскости ABC, проходящей через точки A, B и C. Для этого воспользуемся формулой для нахождения уравнения плоскости, заданной тремя точками:

Уравнение плоскости проходящей через точки A, B и C:
(x - x₁)(y₂ - y₁)(z₃ - z₁) + (x₂ - x₁)(y - y₁)(z₃ - z₁) + (x₂ - x₁)(y₂ - y₁)(z - z₁) = 0

Подставим координаты точек A, B, C в формулу и найдем уравнение плоскости ABC:
(-1 - (-1))(0 - (-5))((-3) - 2) + (-6 - (-1))(y - (-5))((-3) - 2) + (-6 - (-1))(0 - (-5))(z - 2) = 0
0 - 5 - 3 + 5(y + 5) + 5(z - 2) = 0
-8 + 5y + 5z + 10 = 0
5y + 5z = -2

Теперь найдем координаты точки пересечения биссектрисы угла В с прямой BD. Для этого решим систему уравнений плоскости ABC и прямой BD. Составим систему уравнений:

Система уравнений:
x + 1 = (-5/5)(t + 6)
y + 5 = (5/5)(t - 1)
z - 2 = (5/5)(t + 3)
5y + 5z = -2

где (t + 6), (t - 1), (t + 3) - это координаты точки на прямой BD.

Теперь решим систему уравнений.

Исходя из уравнений y + 5 = (5/5)(t - 1) и z - 2 = (5/5)(t + 3), получим:
y + 5 = t - 1
z - 2 = t + 3

Исключим переменную t из этих уравнений, вычтя первое из второго:
y + 5 - (z - 2) = t - 1 - (t + 3)
y + 5 - z + 2 = t - 1 - t - 3
y - z + 7 = -4

Теперь подставим это в уравнение плоскости ABC (5y + 5z = -2):
5(y - z + 7) + 5z = -2
5y - 5z + 35 + 5z = -2
5y + 35 = -2

Вычтем 35 из обоих сторон:
5y = -37

Разделим обе стороны на 5:
y = -37/5

Теперь найдем x и z. Используем уравнение y + 5 = t - 1:
-37/5 + 5 = t - 1
-37/5 + 25/5 = t - 1
-12/5 = t - 1

Приравняем t - 1 к значению x + 1, и решим уравнение:
t - 1 = x + 1
-12/5 = x + 1

Избавимся от 1, вычтя его из обеих сторон:
-12/5 - 1 = x + 1 - 1
-12/5 - 5/5 = x

Подсчитаем это:
-12/5 - 5/5 = x
-17/5 = x

Теперь найдем значение z. Используем уравнение z - 2 = t + 3:
z - 2 = t + 3
z - 2 = -12/5 + 3

Сложим -12/5 и 3:
-12/5 + 15/5 = z

Подсчитаем это:
-12/5 + 15/5 = z
3/5 = z

То есть, мы нашли значения для x, y и z. Координаты точки пересечения биссектрисы угла В с прямой BD равны:
x = -17/5
y = -37/5
z = 3/5

Теперь, чтобы найти длину биссектрисы угла В, нам нужно вычислить расстояние между точками B и пересечением биссектрисы на прямой BD. Для этого воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками:

Длина сегмента между точками B и пересечением биссектрисы:
√((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² + (z₁ - z₂)²)

Подставим координаты точек B(-6;0;-3) и пересечения биссектрисы (-17/5, -37/5, 3/5) в формулу и найдем длину сегмента:
√((-6 - (-17/5))² + (0 - (-37/5))² + (-3 - 3/5)²)
√((-6 + 17/5)² + (37/5)² + (-15/5)²)
√((-30/5 + 17/5)² + (37/5)² + (-75/5)²)
√(((-30 + 17)/5)² + (37/5)² + (-75/5)²)
√(((-13)/5)² + (37/5)² + (-15)²)
√((169/25) + (1369/25) + 225)
√((169 + 1369 + 225)/(25))
√(1763/25)
√(70.52)

Таким образом, длина биссектрисы угла В равна примерно 8.4.

2) Чтобы найти координаты центра треугольника ABC, нам нужно найти среднее арифметическое координат вершин треугольника.

Среднее арифметическое координат точек A(-1;-5;2), B(-6;0;-3) и C(3;6;-3) будет равно:
(x₁ + x₂ + x₃)/3 , (y₁ + y₂ + y₃)/3 , (z₁ + z₂ + z₃)/3

Подставим координаты A(-1;-5;2), B(-6;0;-3) и C(3;6;-3) в формулу и найдем координаты центра треугольника:
((-1) + (-6) + 3)/3 , ((-5) + 0 + 6)/3 , (2 + (-3) + (-3))/3
(-1 - 6 + 3)/3 , (-5 + 0 + 6)/3 , (2 - 3 - 3)/3
-4/3 , 1/3 , -4/3

Таким образом, координаты центра треугольника ABC равны (-4/3, 1/3, -4/3).

Это детальное решение должно помочь школьнику понять каждый шаг и логику нахождения ответов."""