Задача 3. Сторона правильного треугольника равна 8 корней из 3.Найдите радиус окружности,
вписанной в этот треугольник.

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Для начала рассмотрим, что такое вписанная окружность в правильный треугольник. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон треугольника внутренним образом.

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство равностороннего треугольника. У нас дано, что сторона правильного треугольника равна 8 корней из 3. Зная это, мы можем найти высоту треугольника.

Для того чтобы найти высоту треугольника, мы можем разделить его на два равносторонних треугольника, поделив его высоту пополам. Каждая сторона такого треугольника будет равна половине стороны исходного равностороннего треугольника. В данном случае, это будет 8 корней из 3 / 2, или 4 корня из 3.

Теперь у нас есть один из катетов прямоугольного треугольника, образованного половиной стороны равностороннего треугольника (высотой), и мы можем найти второй катет, зная радиус вписанной окружности.

Обозначим радиус вписанной окружности как r. Тогда, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, имеем:
r^2 + (4 корня из 3)^2 = (8 корней из 3)^2

Раскроем скобки:
r^2 + 16*3 = 64*3

Упростим уравнение:
r^2 + 48 = 192

Вычтем 48 с обеих сторон уравнения:
r^2 = 144

Извлечем квадратный корень обеих сторон:
r = 12

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен 12.