Задача №1

Дан параллелограмм ABCD. Найдите сумму векторов:

а) AB и AD б) CD и BC.

Задача 2.

Найдите вектор с, равный сумме векторов a и b, и абсолютную величину вектора с, если а (2;5), b (4;3).

Задача 3.

Даны точки А(0;1), В (1;0), С (1;2), D (2;1). Докажите равенство векторов АВ и СD.

Задача 4.

Даны вершины треугольника АВС: А (0;4), В (-2;4), С (-1;3). Найдите угол А в треугольнике АВС.

Задача 5.

Даны векторы а (4;3) и с (m;2). При каком значении m эти векторы перпендикулярны?

Задача №1:
а) Для нахождения суммы векторов AB и AD нужно просто сложить их координаты:
AB = (x2 - x1, y2 - y1)
AD = (x4 - x1, y4 - y1)

Например, если координаты точек A, B и D равны соответственно (1;2), (4;3) и (3;1), то сумма векторов AB и AD будет следующей:

AB = (4 - 1, 3 - 2) = (3, 1)
AD = (3 - 1, 1 - 2) = (2, -1)

б) Аналогично, для нахождения суммы векторов CD и BC нужно сложить их координаты:
CD = (x4 - x3, y4 - y3)
BC = (x3 - x2, y3 - y2)

Например, если координаты точек B, C и D равны соответственно (4;3), (3;1) и (2;1), то сумма векторов CD и BC будет следующей:

CD = (2 - 3, 1 - 1) = (-1, 0)
BC = (3 - 4, 1 - 3) = (-1, -2)

Задача 2:
Для нахождения вектора с, равного сумме векторов a и b, нужно сложить их координаты:
с = (a1 + b1, a2 + b2)

В данном случае, если a = (2;5) и b = (4;3), то вектор с будет следующим:

с = (2 + 4, 5 + 3) = (6, 8)

Чтобы найти абсолютную величину вектора с, мы можем использовать формулу длины вектора:

|с| = √(с1^2 + с2^2)

В нашем случае:

|с| = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10

Таким образом, абсолютная величина вектора с равна 10.

Задача 3:
Для того чтобы доказать равенство векторов АВ и СD, нужно проверить, что их координаты совпадают:

AB = (x2 - x1, y2 - y1)
CD = (x4 - x3, y4 - y3)

Если координаты точек A, B, C и D равны соответственно (0;1), (1;0), (1;2) и (2;1), то:

AB = (1 - 0, 0 - 1) = (1, -1)
CD = (2 - 1, 1 - 2) = (1, -1)

Как видно, координаты векторов AB и CD совпадают, поэтому векторы равны.

Задача 4:
Для нахождения угла А в треугольнике АВС, можно использовать косинусную теорему:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c)

Где a, b и c - длины сторон треугольника.

Для данного треугольника, стороны можно найти по формуле длины вектора:

a = |BC| = √(BC1^2 + BC2^2)
b = |AC| = √(AC1^2 + AC2^2)
c = |AB| = √(AB1^2 + AB2^2)

Где BC = (xB - xC, yB - yC), AC = (xA - xC, yA - yC), AB = (xA - xB, yA - yB)

Таким образом, для точек A (0;4), B (-2;4) и C (-1;3):

BC = (-2 + 1, 4 - 3) = (-1, 1)
AC = (0 - (-1), 4 - 3) = (1, 1)
AB = (0 - (-2), 4 - 4) = (2, 0)

Теперь можем найти длины сторон:

a = |(-1, 1)| = √((-1)^2 + 1^2) = √(1 + 1) = √2
b = |(1, 1)| = √(1^2 + 1^2) = √(1 + 1) = √2
c = |(2, 0)| = √(2^2 + 0^2) = √(4 + 0) = 2

Теперь можем использовать косинусную теорему:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c)
cos(A) = (2^2 + 2^2 - √2^2) / (2 * 2 * √2)
cos(A) = (4 + 4 - 2) / (4 * √2)
cos(A) = 6 / (4 * √2)
cos(A) = 3 / (2 * √2)
cos(A) = (3 * √2) / (2 * √2)
cos(A) = 3 / 2

Таким образом, cos(A) = 3/2. Отсюда следует, что угол А является остроугольным углом.

Задача 5:
Для того чтобы векторы а и с были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно 0:

а • с = a1 * с1 + a2 * с2 = 0

Если a = (4;3) и с = (m;2), то:

а • с = 4 * m + 3 * 2 = 4m + 6

Получается, чтобы a и с были перпендикулярны, выражение 4m + 6 должно быть равно 0:

4m + 6 = 0
4m = -6
m = -6/4
m = -3/2

Таким образом, при значении m равном -3/2, векторы а (4;3) и с (m;2) будут перпендикулярными.