Высоты аа1 и сс1 остроугольного треугольника авс пересекаются в точке е.докажите что углы cc1a1 и сaa1 равны.

Высоты АА1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Докажите что углы CC1A1 и СAA1 равны. 

Доказательство через вписанные углы в описанной окружности. 

Т.к. в прямоугольных треугольниках АС1С и АА1С общая гипотенуза, то вокруг них можно описать общую окружность. В ней вписанные углы CC1A1 и СAA1 опираются на дугу, стягиваемую общей для них хордой. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу,  равны, что и требовалось доказать. 

∆ АЕС1 и ∆ СЕА1 - прямоугольные и имеют равные вертикальные углы при Е. -  Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.

Отношения катетов, противолежащих равным углам подобных треугольников, к гипотенузе - равны ( это отношение - синусы равных углов).⇒

                 ЕС1:ЕА=ЕА1:ЕС. 

Рассмотрим ∆ ЕАС и  ∆ ЕА1С1. Они имеют равные вертикальные углы при Е, а их стороны. содержащие равные углы, пропорциональны. 

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны. то такие треугольники подобны. 

Следовательно, ∆ЕАС и  ∆ ЕА1С1 подобны. 

Углы ЕАС и ЕС1А1 лежат напротив сходственных сторон, следовательно, равны, ч.т.д