Вычислить расстояние d от точки p(2; 2; 3) до прямой

Есть несколько решения этой задачи.

1) Есть точка на прямой А(3; 5; -2) и её направляющий вектор (-4; 3; -12) с модулем √(16+9+144) = 13.

Вектор АР = (-1; -3; 5). его модуль равен √(1+9+25) = √35.

Найдём угол между ними.

cos A = |-4*-1+3*-3+(-12)*5|/(13*√35) = 65/13√35 = 5/√35.

Найдём синус угла: sin A = √(1 - cos²A) = √(1 - (25/35)) = √(10/35)/

Теперь находим расстояние от точки Р до прямой, равное отрезку АР, умноженному на синус угла.

d = √35*(√(10/35) = √10.

2) Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:

S = |M0M1 × s|

M0M1 × s =  

i     j       k

1     3      -5

-4     3     -12

 =  i  3·(-12) - (-5)·3  - j  1·(-12) - (-5)·(-4)  + k  1·3 - 3·(-4)  =

= i  -36 + 15  - j  -12 - 20  + k  3 + 12  =

=  -21; 32; 15.  

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d =   |M0M1×s| |s|  =   √((-21)² + 32² + 15²) √((-4)² + 3² + (-12)²)  =  

= √1690 /√169  = √10 ≈ 3.1623.