Вычисли сторону и площадь равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен 9 дм.

Добрый день!

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойство равностороннего треугольника: все его стороны равны друг другу.

Дано, что радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен 9 дециметров. Мы знаем, что окружность описана вокруг треугольника, когда все вершины треугольника лежат на окружности. Поскольку треугольник равносторонний, у него все три угла равны 60 градусам.

Давайте обозначим сторону треугольника буквой "a". Поскольку у нас равносторонний треугольник, все три стороны равны "a".

Мы также знаем, что радиус описанной окружности является высотой треугольника. В равностороннем треугольнике высота делит основание на две равные части. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, где один катет равен половине стороны "a", а гипотенуза является радиусом описанной окружности.

Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти второй катет этого треугольника:
(половина "a")^2 + (половина "a")^2 = (радиус)^2.

После раскрытия скобок у нас получится:
(a^2)/4 + (a^2)/4 = 9^2.

После сокращения общих знаменателей получаем:
(a^2 + a^2)/4 = 81.

Далее объединяем подобные члены:
2(a^2)/4 = 81.

Обращаем внимание на коэффициент 2/4, который можно сократить:
(a^2)/2 = 81.

Чтобы избавиться от деления на 2, мы можем умножить обе части равенства на 2:
a^2 = 81 * 2.

Продолжаем вычисления:
a^2 = 162.

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей:
a = √162.

Мы можем представить корень как произведение корня из 9 и корня из 18:
a = √(9 * 18).

Раскрываем корень:
a = √9 * √18.

√9 равно 3, поэтому:
a = 3 * √18.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу площади равностороннего треугольника: площадь = (сторона^2 * √3) / 4.

Подставляем значение "a":
площадь = (3 * √18)^2 * √3 / 4.

Раскрываем квадрат:
площадь = (9 * 18) * √3 / 4.

Выполняем умножение:
площадь = 162 * √3 / 4.

Получаем окончательный ответ:
площадь равностороннего треугольника равна 162 * √3 / 4, а сторона равна 3 * √18.