Ввыпуклом четырехугольнике npqm диагональ nq - биссектриса угла pnm. найдите ns, если pq = 12, sq = 9.

Угол QNM=углу QPM(Так как опираются на одну дугу). Угол QNM =углу QNP(так как NQ-биссектриса по условию. Из подчёркнутого следует, что угол QPM= углу QNP.
Треугольники NPQ и SPQ подобны(угол NQP - общий, угол QNP=углу QPM(доказано выше))
NQ/QP=QP/SQ
NQ=QP^2/SQ=86^2/43=7396/43=172
NS=NQ-SQ=172-43=129

Углы между прямыми, проведенными из двух точек окружности к любой другой точке окружности равны, значит ∠QNM=∠QPM.
Т.к. QN - биссектриса, то ∠QPM=∠QNP.
Тр-ки QNP и QPS подобны, т.к. ∠QNP=∠QPS и ∠Q общий.
PQ/NQ=QS/PQ ⇒ NQ=PQ²/QS=12²/9=16.
NS=NQ-QS=16-9=7 - это ответ.