Втреугольнике авс уголв=120°, длина ав на 3 корней из 3 меньше полупериметра. найти радиус окружности, касающейся стороны вс и прододжительности сторон ав и ас.

Пусть АВ = с; BC = a; AC = b; 

p = (a + b + c)/2;

Я обозначаю p - c = z (в условии дано z = 3√3); или b + a - c = 2*z;

Радиус r вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, равен

r = S/(p - a); или r = 2*S/(b + c - a); 

Теперь числитель и знаменятель этой дроби умножаются на 2*z = b + a - c;

r = 2*S*2*z/((b + c - a)*(b - c  +a)) = 4*S*z/(b^2 - (c - a)^2) = 4*S*z/(b^2 - a^2 - c^2 + 2*a*c);

Теперь надо подставить S = a*c*sin(B)/2 и b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(B); получается

r = 2*z*a*c*sin(B)/(2*a*c - 2*a*c*cos(B)) = z*sin(B)/(1 - cos(B)); это ответ в общем случае.

Если подставить sin(B) = √3/2; cos(B) = -1/2, (то есть угол В = 120°) то r = z/√3;

При z = 3√3; r = 3

Это повторение моего решения вот поправкой на числа. Там еще есть немного теории про вневписанные окружности.

Я решил добавить кое-что - мало ли, кому пригодится.

Соотношение r = S/(p - a); где r - радиус вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, доказать очень просто. Если соединить центр О этой окружности с вершинами треугольника АВС, то 

S = Sabo + Saco - Sbco (Sabo - это площадь треугольника АВО, и так далее)

В каждом из этих треугольников радиус вневписанной окружности является высотой к стороне, которая - к тому же - сторона треугольника АВС.

S = AB*r/2 + AC*r/2 - BC*r/2 = (c + b - a)*r/2 = (p - a)*r; где p = (a + b + c)/2;

ЧТД.

Отсюда, кстати, сразу можно получить очень веселые и красивые следствия, например, такое (с учетом формулы Герона для площади)

S^2 = r*ra*rb*rc;

где r - радиус вписанной окружности, ra, rb, rc - радиусы трех вневписанных окружностей треугольника АВС. 

AC^2=AB^2+CB^2-2ABCBcos120

AC^2=34+15

AC=r=7

ответ: 7.