Втреугольнике авс на стороне ас взята точка м, такая что ам=2/3ас, на стороне вс- точка к, такая, что вк=1/3вс, в каком отношении отрезок вм делит отрезок ак?

Для начала точку K я переобозначу как А1, а точку M - как B1,  буквой К обозначу пересечение прямых AA1 и BB1. Такие обозначения являются общепринятыми для подобных задач. Итак, задано, что BA1/A1C = 1/2 (ну, или ВА1 = ВС/3, что то же самое), и СВ1/В1А = 1/2 (или, то же самое, АВ1 = АС*2/3). Надо найти АК/КА1.
1. " ради которого задаются такие задачи."
Пусть С1 - точка пересечения СК и АВ. Тогда по теореме Чевы
ВА1*СВ1*АС1/(А1С*В1А*С1В) = 1; AC1/C1B = 4;
По теореме Ван-Обеля
АК/КА1 = АС1/С1В + АВ1/В1С = 4 + 2 = 6;
"без сложных теорем"
Если провести B1B2 II BC; то из подобия треугольников AB1B2 и AA1C получается
В1В2 = А1С*2/3 = ВС*4/9;
Из подобия треугольников ВКА1 и В1В2К 
В2К/КА1 = В1В2/ВА1 = (4/9)/(1/3) = 4/3;
Отсюда ВА1/КА1 = 7/3; AA1/KA1 = 7; AK/KA1 = 6