Втреугольнике abc известны стороны ab=7, bc=9, ac=10.окружность проходящая через точки а и с, пересекает прямые ba и bc соответственно в точках k и l, отличных от вершин треугольника. отрезок kl касается окружности, вписанной в
треугольник abc. найдите длину отрезка kl

Обозначим О центр вписанной в треугольник окружности. Проведем из него радиусы в точки касания (вписанной окружностью) М - со стороной АВ, Р - со стороной ВС и - точно такой же радиус в точку касания с KL - пусть это точка N. 

Теперь - веселый трюк :))) 

Поскольку четырехугольник AKLC - вписанный, то сумма углов AKL и АСВ равна 180 градусов. Равссмотрим теперь четырехугольник MKNO. В нем 2 угла прямые :), поэтому сумма углов MON и AKL тоже 180 градусов. Поэтому угол MON равен углу АСВ :).

Но это - еще не всё :)

четырехугольник KMON очевидно симметричен относительно КО. Поэтому угол КОN равен С/2 (С - угол АВС). Отсюда KN = r*tg(C/2); r - вписанной окружности :)

Совершенно так же показывается, что угол LON равен А/2, где А - угол ВАС, и NL = r*tg(A/2);

Таким образом, KL = r*(tg(C/2) + tg(A/2)),

где А и С, а также r  - это углы и радиус вписанной окружности в треугольнике АВС, у которого известны все стороны (7,9,10) :))) остается просто вычислить эти величины :))

Но есть еще один - не слишком важный, но приятный - трюк:)) Дело в том, что АС = r*(1/tg(C/2) + 1/tg(A/2)) = KL/(tg(A/2)*tg(C/2); Поэтому

KL = AC*tg(A/2)*tg(C/2); так проще считать :))

Ну, меленькая пауза на расчеты (красоты наверняка закончились). 

Воспользуемся формулой tg(A/2) = корень((1-cosA)/(1+cosA)) и вычислим cosA из теоремы косинусов - напротив угла А лежит сторона ВС = 9, имеем

9^2 = 10^2 + 7^2 - 2*10*7*cosA; cosA = (10^2 + 7^2 - 9^2)/(2*7*10);

(1-cosA)/(1+cosA) = (2*7*10 - (10^2 + 7^2 - 9^2))/(2*7*10 + (10^2 + 7^2 - 9^2)) = 9/26;

tg(A/2) = корень(9/26);

Аналогично для угла С tg(С/2) = корень((1-cosС)/(1+cosС));

7^2 = 10^2 + 9^2 - 2*9*10*cosC; cosC = (10^2 - 7^2 + 9^2)/(2*9*10);

(1-cosC)/(1+cosC) = (2*9*10 - (10^2 - 7^2 + 9^2))/(2*9*10 + (10^2 - 7^2 + 9^2)) = 6/39;

tg(С/2) = корень(6/39);

KL = 10*корень(9/26)*корень(6/39) = 30/13; надо же, корни все пропали :)))

А пропали они - потому что надо сначала умом работать, а потом другими частями тела. Продолжив игру с углами, можно легко обнаружить, что угол BLK = A, а угол BKL = C. В самом деле, мы уже показали, что (из-за того, что АСKL - вписанный четырехугольник) угол KLC + угол ВАС = 180 градусов, но угол BLK + угол KLC = 180 градусов, поэтому угол BLK = угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС. (По-моему тут решение получить можно проще.)

Для начала вычислим BM = BP = x; АМ = АК = y; CK = CP = z -отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.

x + y = 7;

y + z = 10;

x + z = 9;

y - x = 1; 2*y = 8; y = 4; x = 3; z = 6; нам понадобится x.

Опять веселые трюки :))

Периметр треугольника BKL равен 2*x = 6;

(а вот сами докажите :) ну, ладно, подскажу - KM = KN и NL = LP, поэтому BK + KL + BL = BK + KN + NL + BL = MB + BP = 2*x) 

Из того, что BKL подобен АВС, следует, что BL = KL*7/10; BK = KL*9/10, периметр равен KL*26/10; Поэтому 

KL*26/10 = 6; KL = 30/13; :

КB = LB  (отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны)тогда, если АК обозначить черех х, то 7-х=КВ Или, может быть, нужно составить систему. Если АК обозначить через у, а КВ через х, то х+у=7 и т.д...