Втреугольнике abc биссектриса bq и медиана at перпендикулярны при этом at=10 а bq=16 найдите стороны треугольника abc !

В треугольнике АВТ ВО - биссектриса и высота, значит ΔАВТ равнобедренный, АВ = ВТ = ВС/2 (Т - середина ВС по условию), а так как ВО еще и медиана, то АО = ОТ = АТ/2 = 5.

По свойству биссектрисы треугольника AQ : QC = AB : BC = 1 : 2, тогда

CQ : CA = 2 : 3.

Проведем QS║AT.

ΔCQS подобен ΔCAT по двум углам (угол при вершине С общий, ∠CQS = ∠CAT как соответственные при QS║AT и секущей АС), ⇒

QS : AT = CQ : CA = 2 : 3

QS = 2AT / 3 = 20/3

ΔВОТ подобен ΔBQS по двум углам (угол при вершине В общий, ∠BOT = ∠BQS как соответственные при QS║AT и секущей BQ), ⇒

BO : BQ = OT : QS

BO : 16 = 5 : (20/3)

BO = 16 · 5 / (20/3) = 80 · 3 / 20 = 12 ⇒ OT = BT - BO = 16 - 12 = 4

ΔBOT: по теореме Пифагора

ВТ = √(ВО²+ ОТ²) = √(144 + 25) = 13 ⇒

АВ = 13, ВС = 26.

ΔAOQ: по теореме Пифагора

AQ = √(AO² + OQ²) = √(25 + 16) = √41

AC = 3AQ = 3√41