Втрапеции большее основание рано 8, одна из боковых сторон равна 6. известно, что одна из диогоналей перпендикулярна заданой боковой стороне, а другая делит угол между этой боковой стороной и большим основанием
пополам. найдите площадь трапеции.

условие про биссектрису означает, что диагонали в точке пересечения делятся в отношении 8/6, но это означает, что основания трапеции отностятся как 8/6, то есть малое основание равно 6 (ясно, что треугольники, образованные основаниями и диагоналями, подобны).

Осталось найти высоту трапеции. К сожалению, подбор чисел подкачал. Из прямоугольного треугольника находим одну из диагоналей, 

d1 = корень(8^2 - 6^2) = 2*корень(7); 

d1*6 = h*8 (это просто удвоенная площадь прямоугольного треугольника), то есть 

h =  3*корень(7)/2;

S = (3*корень(7)/2)*(8 + 6)/2 = 21*корень(7)/2