Найдите неизвестные тригонометрические функции угла, если 1.png, а угол β лежит во второй четверти.
Задание 2 ( ).
Из точки C, которая лежит вне окружности, проведена секущая AC, проходящая через центр окружности, и касательная CN. Найдите градусную меру меньшей дуги BN, если угол ANC = 120°.
image2.png
Задание 3.
Около четырёхугольника ABCD описана окружность, причём AD – диаметр окружности. Зная, что ∠ABC = 112°, ∠BCD = 128°, найдите:
а) ∠BAD ( );
б) ∠СAD ( );
в) ∠BDA ( ).
Задание 4.
В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. ∠ACB = 30°, ∠CBA = 50°, BM = 4 см. Выполните рисунок и найдите:
а) длину биссектрисы AM ( );
б) длину стороны AС ( );
в) радиус окружности, описанной около треугольника ABC ( ).
Задание 1:
Мы знаем, что sin β = 1/2 и угол β находится во второй четверти. Для нахождения остальных тригонометрических функций угла β будем использовать тригонометрические соотношения.
1. Найдём cos β:
Так как sin β = 1/2 и угол β лежит во второй четверти, то cos β будет отрицательным. Используя соотношение sin^2 β + cos^2 β = 1, мы можем решить уравнение:
(1/2)^2 + cos^2 β = 1
1/4 + cos^2 β = 1
cos^2 β = 1 - 1/4
cos^2 β = 3/4
cos β = √(3/4)
cos β = √3/2
2. Найдём tg β:
Мы можем использовать соотношение sin β / cos β = tg β. Подставим полученные значения sin β и cos β:
(1/2) / (√3/2)
1/2 * 2/√3
1/√3
tg β = √3/3
Ответ:
sin β = 1/2
cos β = √3/2
tg β = √3/3
ctg β = √3
Задание 2:
Мы знаем, что угол ANC = 120° и AB = AC. Нам нужно найти градусную меру меньшей дуги BN.
1. Найдём градусную меру дуги AC:
Так как угол ANC = 120° и это центральный угол, градусная мера дуги AC равна 2 * 120° = 240°.
2. Найдём градусную меру меньшей дуги BN:
Так как AB = AC, то градусная мера дуги AB равна градусной мере дуги AC, то есть 240°.
Ответ: Градусная мера меньшей дуги BN равна 240°.
Задание 3:
Мы знаем, что ∠ABC = 112° и ∠BCD = 128°. Нам нужно найти градусные меры ∠BAD, ∠CAD и ∠BDA.
1. Найдём градусную меру ∠BAD:
Так как около четырёхугольника ABCD описана окружность и AD является диаметром этой окружности, то угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом. Таким образом, ∠BAD = 90°.
2. Найдём градусную меру ∠CAD:
Используя свойство окружности, приложенное к углу вписанного четырёхугольника, мы можем сказать, что ∠CAD = 180° - ∠BAD.
∠CAD = 180° - ∠BAD
∠CAD = 180° - 90°
∠CAD = 90°
3. Найдём градусную меру ∠BDA:
Используя свойство противоположных углов, мы можем сказать, что ∠BDA = ∠BCD.
∠BDA = ∠BCD
∠BDA = 128°
Ответ:
а) ∠BAD = 90°
б) ∠CAD = 90°
в) ∠BDA = 128°
Задание 4:
У нас есть треугольник ABC, где ∠ACB = 30°, ∠CBA = 50° и BM = 4 см. Нам нужно найти длину биссектрисы AM, длину стороны AC и радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
1. Найдём длину биссектрисы AM:
Мы можем использовать теорему о разделении биссектрисы треугольника.
Найдём длину стороны AB, используя теорему косинусов:
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos ∠ACB
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos 30°
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * (√3/2)
AB^2 = AC^2 + BC^2 - √3 * AC * BC
Длина биссектрисы AM равна произведению длины стороны AB и синуса ∠CBA, поделённому на синус ∠ACB:
AM = (AB * sin ∠CBA) / sin ∠ACB
2. Найдём длину стороны AC:
Мы знаем, что AB = AC, так как это равнобедренный треугольник.
3. Найдём радиус окружности, описанной около треугольника ABC:
Мы можем использовать теорему синусов:
(BC / sin ∠ACB) = (AB / sin ∠BCA)
BC = 2 * R * sin ∠ACB
R = BC / (2 * sin ∠ACB)
Ответ:
а) Длина биссектрисы AM нужно вычислить, используя ранее описанные формулы.
б) Длина стороны AC равна длине стороны AB.
в) Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, нужно вычислить, используя ранее описанные формулы.
Задание 1:
Мы знаем, что sin β = 1/2 и угол β находится во второй четверти. Для нахождения остальных тригонометрических функций угла β будем использовать тригонометрические соотношения.
1. Найдём cos β:
Так как sin β = 1/2 и угол β лежит во второй четверти, то cos β будет отрицательным. Используя соотношение sin^2 β + cos^2 β = 1, мы можем решить уравнение:
(1/2)^2 + cos^2 β = 1
1/4 + cos^2 β = 1
cos^2 β = 1 - 1/4
cos^2 β = 3/4
cos β = √(3/4)
cos β = √3/2
2. Найдём tg β:
Мы можем использовать соотношение sin β / cos β = tg β. Подставим полученные значения sin β и cos β:
(1/2) / (√3/2)
1/2 * 2/√3
1/√3
tg β = √3/3
3. Найдём ctg β:
Мы можем использовать соотношение 1 / tg β = ctg β. Подставим полученное значение tg β:
1 / (√3/3)
1 * 3/√3
3/√3
ctg β = √3
Ответ:
sin β = 1/2
cos β = √3/2
tg β = √3/3
ctg β = √3
Задание 2:
Мы знаем, что угол ANC = 120° и AB = AC. Нам нужно найти градусную меру меньшей дуги BN.
1. Найдём градусную меру дуги AC:
Так как угол ANC = 120° и это центральный угол, градусная мера дуги AC равна 2 * 120° = 240°.
2. Найдём градусную меру меньшей дуги BN:
Так как AB = AC, то градусная мера дуги AB равна градусной мере дуги AC, то есть 240°.
Ответ: Градусная мера меньшей дуги BN равна 240°.
Задание 3:
Мы знаем, что ∠ABC = 112° и ∠BCD = 128°. Нам нужно найти градусные меры ∠BAD, ∠CAD и ∠BDA.
1. Найдём градусную меру ∠BAD:
Так как около четырёхугольника ABCD описана окружность и AD является диаметром этой окружности, то угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом. Таким образом, ∠BAD = 90°.
2. Найдём градусную меру ∠CAD:
Используя свойство окружности, приложенное к углу вписанного четырёхугольника, мы можем сказать, что ∠CAD = 180° - ∠BAD.
∠CAD = 180° - ∠BAD
∠CAD = 180° - 90°
∠CAD = 90°
3. Найдём градусную меру ∠BDA:
Используя свойство противоположных углов, мы можем сказать, что ∠BDA = ∠BCD.
∠BDA = ∠BCD
∠BDA = 128°
Ответ:
а) ∠BAD = 90°
б) ∠CAD = 90°
в) ∠BDA = 128°
Задание 4:
У нас есть треугольник ABC, где ∠ACB = 30°, ∠CBA = 50° и BM = 4 см. Нам нужно найти длину биссектрисы AM, длину стороны AC и радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
1. Найдём длину биссектрисы AM:
Мы можем использовать теорему о разделении биссектрисы треугольника.
Найдём длину стороны AB, используя теорему косинусов:
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos ∠ACB
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos 30°
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * (√3/2)
AB^2 = AC^2 + BC^2 - √3 * AC * BC
Длина биссектрисы AM равна произведению длины стороны AB и синуса ∠CBA, поделённому на синус ∠ACB:
AM = (AB * sin ∠CBA) / sin ∠ACB
2. Найдём длину стороны AC:
Мы знаем, что AB = AC, так как это равнобедренный треугольник.
3. Найдём радиус окружности, описанной около треугольника ABC:
Мы можем использовать теорему синусов:
(BC / sin ∠ACB) = (AB / sin ∠BCA)
BC = 2 * R * sin ∠ACB
R = BC / (2 * sin ∠ACB)
Ответ:
а) Длина биссектрисы AM нужно вычислить, используя ранее описанные формулы.
б) Длина стороны AC равна длине стороны AB.
в) Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, нужно вычислить, используя ранее описанные формулы.