Вравнобедренную трапецию с большим основанием а и углом 60 градусов , вписана окружность. найдите меньшее основание трапеции.

в равнобедренно трапеции если 1 угол 60гр, то и ещё один есть 60гр.

боковые углы смежные. смежные в сумме дают 90градусов по теореме о свойствах смежных углов. значит, угол 60 гр. находится у меньшео основания, а у большего угол=30 гр. (90-60=30)

т.к. угол равен 30 гр., а в трапецию вписна окружность, то меньшее основание равно половине большего умноженное на число пи по  теорме о свойствах вписанной окроужности в четырёхугольники

А я бы по другому решила.

Большее основание - а, меньшее обозначим b, а стороны трапеции c (т.к. равнобедренная).

Окружность может быть вписана в трапецию тогда и только тогда, когда сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. отсюда: b+a=c+c
 b=2c-a.

Теперь проведем перпендикуляры к основанию а. Нетрудно увидеть, что мы получим два равных прямоугольных треугольника, в которых меньшие углы равны 30%. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30% лежит катет, равный половине гипотенузы, т.е. равный c/2. a-(c/2+c/2) = b.

Составим систему:

b = 2c-a

b = a-c

Из нее найдем с=2а/3, и b=a/3