Вравнобедренном треугольнике авс с основанием ас, высоты вм и ан пересекаются в точке к,причем ак=5см,кн=3см. найти площадь треугольника авк.

 Сделаем рисунок.
Проведем в треугольнике АВС еще одну высоту СЕ. 
СЕ=АН, так как треугольник АВС равнобедренный, и высоты к равным сторонам равны. 
Поэтому ЕК=3, КС=5 
Из треугольника АЕК можно найти АЕ по т. Пифагора, но этот треугольник египетский, и АЕ равна 4. 
ВМ - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС.  Биссектриса треугольника делит сторону, которую пересекает,  на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. 
ВК  делит в треугольнике АВН сторону АН в отношении, равном отношению АК:КН 
АВ:ВН=АК:КН=5:3
 АВ:ВН=5:3 
3АВ=5ВЕ. 
Так как ВН=ВЕ, АВ=ВН+4 
3(ВН+4)=5ВН 
3ВН+12=5 ВН 
2ВН=12см 
ВН=6см 
АВ=ВН+4=6+4=10см 
SАВК=КЕ*АВ:2=3*10:2=15см².