Впрямоугольный треугольник вписан квадрат,один из углов которого совпадает с прямым углом треугольника.сумма длин катетов треугольника равна a,а их произведение равно b.найдите длину стороны квадрата.

Обозначим АВ - х, ВС - у, сторона квадрата - к.
Треугольник АВС подобен треугольнику ДЕС ⇒
х/к=у/(у-к);
к=х*у/(х+у);
по условию х+у=а, х*у=в;
к=в/а.

Дано: Δ АВС
∠ВАС = 90⁰
АВ + АС = а
АВ ∙ АС  =  в
к - сторона квадрата, вписанного в ΔАВС
∠ВАС - общий 
Найти:       к
Решение.
Площадь (S) ΔАВС = S₁ +S₂ +Sк;   S = в/2;  Sк = к²; 
 S₁ = кх/2;  S₂ = ку/2;  S₁+S₂ = (к/2)(х+у) ; 
 АВ+АС = а = х+к+к+у = 2к+(х+у);  (х+у) = а - 2к;
S₁+S₂ = (к/2)(х+у) = (к/2)(а-2к);   
в/2 =(к/2)(а-2к) + к²;   в/2 = ак/2 – к²+к²;   в/2 = ак/2;   
     к = в/а
ответ:  Сторона квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник равна произведению длин катетов, деленному на их сумму.