Впрямоугольный треугольник с катетами 10 и 15 вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. найти периметр квадрата. (ответ должен получиться 24)

Раз 10-11, значит, можно и координатным методом - для этой задачи самый простой путь. начало координат в вершине прямого угла, оси по катетам, гипотенуза пересекает ось Y в точке (0,15), ось X в точке (10,0). Легко видеть, что уравнение гипотенузы 

x/10 + y/15 = 1; (обе точки пересечения с осями лежат на этой прямой, а через 2 точки можно провести только одну прямую)

Вершина "вписанного" квадрата лежит на гипотенузе, и, при этом, на прямой

y = x. 

Поэтому, если x - координата этой вершины (и, соответственно, сторона квадрата), то

x*(1/10 + 1/15) = 1;

x = 6;

Ну, а периметр квадрата равен 24, конечно.