Впрямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 10см и 3см. найти больший катет треугольника.

  Обозначим треугольник АВС (угол С=90°), а точки касания окружности со сторонами: на ВС- К, на АС – Н и на АВ – М. (см. рисунок приложения)

 Гипотенуза равна сумме отрезков, на которые делит ее точка касания АВ=АМ+ВМ=10+3=13 см.

  Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.  Поэтому четырехугольник СКОН - квадрат. КС=ОН=СН=КО=r

  Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, до точек касания равны. ⇒

АН=АМ=3  и ВК=ВМ=10, а  катеты ВС=10+r  и AC=3+r

По т.Пифагора АВ²=ВС²+АС²

 13²=(10+r)²+(3+r)²

169=100+20r+r²+9+6r+r²

169-109=2r²+26r => 2r²+26r- 60=0 ⇒ r²+13r- 30=0

Дискриминант D=b²-4ac=169-4·1·-30=289 ⇒

r=2 (второй корень отрицательный и не подходит)

10+2=12 см - больший катет

3+2=5 см  меньший катет.