Впрямоугольном треугольнике с острым углом 60 градусов, и прилежащим к нему катетом равным 10см. вычислите высоту опущенную из вершины прямого угла.

Задачу можно решить по-разному Обозначим вершины треугольника А, В, С, а точку пересечения высоты с гипотенузой - Н.

Найдем гипотенузу.
Так как катет АВ, равный 10 см, противолежит углу 30 градусов, он равен половине гипотенузы, а гипотенуза, соответственно, в два раза больше катета.
Гипотенуза равна 20 см
Катет ВС найдем по теореме Пифагора. Он равен 10√3

Пусть отрезок АН будет х, тогда НС - 20-х

Выразим h² из прямоугольных треугольников АВН и ВСН, образованных катетами, высотой и частью гипотенузы.

h²=АВ²-АН²= 10²-х²
h²=ВС²-НС²=(10√3)²-(20-х)²

Приравняем выражения, найденные для высоты.

10²-х²=(10√3)²-(20-х)²
100-х²=300-400+40х-х²
40х=200
х=5
Подставим значение х в уравнение высоты:
h²=АВ²-х гораздо короче, если мы помним значение синусов некоторых углов.

Рассмотрим треугольник АВС.
Высота, проведенная к гипотенузе, - катет прямоугольного треугольника АВН.
ВН:АВ=sin(60º)
sin(60º)=(√3):2
ВН=АВ*(√3):2=10*(√3):2=5√3
h=5√3

10²-х²=(10√3)²- (20-х)²
100-х²=300-400+40х-х²
40х=200
х=5

h²=АВ²-х²=100-25=75
h=5√3