Впрямоугольном треугольнике один из катетов равен 6, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9. найдите площадь треугольника.

Пусть данный прямоугольный треугольник - АВС,
 угол С=90°,
 СН - высота.
 АН - проекция катета АС,
х- проекция катета ВС на гипотенузу АВ. 
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. 
ВС²=АВ*ВН 
Пусть ВН=х. Тогда АВ=9+х 
36=х(9+х) ⇒
х² +9х-36=0 
Решив квадратное уравнение, получим его корни.
 х₁=3 
х₂=-12 ( не подходит).
 ВН=3 
АС² =АВ*АН 
АС² =12*9=108 
АС=√108=6√3 
S=AC*CB:2=18√3
--------
Из отношения СВ :АВ=1/2  ясно, что угол А=30°, угол В=60°, и тогда площадь можно не находить длину ворого катета, а найти по формуле: 
S=(a*b*sin α):2 , где a и b стороны треугольника, α - угол между ними. 
S=AB*BC*√3)*0,5:2
Результат вычисления будет тем же -  S=18√3