Впрямоугольном треугольнике авс из прямого угла с построена высота cd, которая делит гипотенузу в отношении 1: 4. чему равна высота cd, если гипотенуза равна 5 см?

Одно из соотношений прямоугольного треугольника 
высота опущенная из прямого угла в квадрате = умножение отрезков на которые высота делит гипотенузу
Это следует из подоьия треугольников
H^2=4*1
H=2

Решить можно очень быстро, исходя из пропорциональности отрезков гипотенузы с катетами, имеющими с ними общий угол:
1)находим отрезки гипотенузы: 
если AB=5, а BD=4x, AD=x, значит AC=5x, AC=5
BD=4; AD=1;
2)CD=√(BD*AD)=√4=2