Впрямоугольном треугольнике abc угол c=90 градусам,угол a=60 градусам.на стороне ab взята точка q так что bq/qa=1/2.найти радиус окружности проходящей через точку q и a и касающийся прямой содержащей сторону bc если qa=4

AB = 6; AC = 3; CB = 3√3; это всё легко находится.
Более того, одно из возможных решений сразу видно - середина отрезка AQ удалена от точек A и Q на 2, и от стороны BC тоже, то есть 2 - одно из возможных решений. К сожалению - не единственное.
Центр окружности удален от стороны BC на r - величину радиуса. Расстояние от центра до стороны AC я обозначу q; для окружности (оси X и Y - это просто стороны BC и AC)
(x - q)^2 + (y - r)^2 = r^2; (такая окружность заведомо касается прямой ВС - есть только одна общая точка (q, 0), остальные точки лежат заведомо выше ВС)
известно, что она проходит через точку А (0,3) и Q(2√3,1) откуда получаются два уравнения
q^2 + 9 - 6r = 0;
(2√3 - q)^2 + 1 - 2r = 0; или q^2 - 4√3q + 13 - 2r = 0;
если вычесть одно из другого, получится q = (r + 1)/√3; и подстановка этого в первое дает
r^2 - 16r + 28 = 0; или (r - 2)(r - 14) = 0;
то есть кроме ответа r = 2; возможно решение r = 14;
Конечно, когда это известно, и понятно, где находится центр второго решения 
- для второго решения q = 5√3; а ВС = 3√3, точка касания как раз находится на прямой ВС на расстоянии q = 5√3 от С, - можно получить ту же самую систему уравнений для r и q, не используя уравнение окружности, а просто сравнивая расстояния от возможного центра до точек A Q и прямой BC. Получится то же самое уравнение на r.
Например, можно записать свойство касательной и секущей из точки B
(q - 3√3)^2 = 2*6; q = 3√3 +- 2√3; и получилось оба решения :) после нахождения q остается найти r. Такое решение кажется технически проще, но это не так - чтобы найти r, зная q, надо постараться, даже зная ответ :).