Впрямоугольнике abcd сторона ad равна 4. на стороне ab выбрана точка m так, что am: mb=3: 1. вторая сторона прямоугольника имеет длину такую, что в четырёхугольник amcd можно вписать окружность. найдите расстояние от центра этой окружности до вершины b.

Четырёхугольник АМСД является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны: АМ+СД=АД+МС
Пусть АМ=3х, МВ=х, АД=ВС=4, АВ=СД=АМ+МВ=4х
Из прямоугольного ΔМВС:
МС=√(ВС²+МВ²)=√(16+х²)
Подставляем:
3х+4х=4+√(16+х²)
(7х-4)²=16+х²
49х²-56х+16=16+х²
48х²-56х=0
х₁=0 (не подходит)
х₂=7/6
Значит АМ=7/2, МВ=7/6, АВ=СД=14/3, МС=√(16+49/36)=25/6
Площадь Sмвс=МВ*ВС/2=7/6*4/2=7/3
Площадь Sавсд=АВ*ВС=14/3*4=56/3
Площадь Sамсд=Sавсд-Sмвс=56/3-7/3=49/3
Полупериметр АМСД р=(АМ+МС+СД+АД)/2=(7/2+25/6+14/3+4)/2=49/6
Радиус вписанной окружности R=Sамсд/p=49/3 / 49/6=2
Опустим перпендикуляр из центра окружности О на сторонй АМ: ОК=2.
Рассмотрим прямоугольный ΔОКВ: КВ=АВ-2=14/3-2=8/3
ОВ²=КВ²+ОК²=64/9+4=100/9
ОВ=10/3