Вправильный тетраэдр вписана сфера радиуса r. найдите ребро этого тетраэдра.

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойство вписанных многогранников.

1. Для начала обратимся к определению вписанного тетраэдра – это тетраэдр, внутренняя часть которого полностью находится внутри сферы.

2. Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD. Поскольку этот тетраэдр вписан в сферу радиуса r, мы знаем, что все его вершины лежат на поверхности этой сферы.

3. Обозначим вершины тетраэдра: A, B, C и D.

4. Обозначим ребро тетраэдра как a. Поскольку тетраэдр правильный, все его ребра равны между собой.

5. Рассмотрим треугольник ABC, который является одной из граней тетраэдра.

6. Находим высоту треугольника ABC, опущенную из вершины C на сторону AB. Обозначим эту высоту как h.

7. Треугольник ABC - прямоугольный, поскольку его боковые стороны равны радиусу сферы r (так как все вершины тетраэдра лежат на поверхности сферы).

8. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника ABC. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: r^2 = (a/2)^2 + h^2.

9. Так как треугольник ABC является прямоугольным, гипотенуза равна диагонали основания тетраэдра AB.

10. Длина диагонали основания тетраэдра можно найти с помощью теоремы Пифагора: AB^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2.

11. Раскрываем скобки в уравнении для длины диагонали основания тетраэдра: AB^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2.

12. Теперь мы можем использовать полученное значение длины диагонали основания для нахождения высоты треугольника ABC: r^2 = a^2/2 + h^2.

13. Так как треугольник ABC является прямоугольным, высота h равна половине диагонали основания: h = a/2.

14. Подставляем значение высоты в уравнение: r^2 = a^2/2 + (a/2)^2.

15. Упрощаем уравнение: r^2 = a^2/2 + a^2/4 = 3a^2/4.

16. Переносим все члены уравнения на одну сторону: r^2 - 3a^2/4 = 0.

17. Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей: 4r^2 - 3a^2 = 0.

18. Переносим 3a^2 на другую сторону и заменяем радиус сферы на r: 3a^2 = 4r^2.

19. Деля обе части уравнения на 3, находим квадрат длины ребра тетраэдра: a^2 = (4r^2) / 3.

20. Извлекаем корень из обеих частей уравнения, чтобы найти длину ребра: a = sqrt((4r^2) / 3).

21. Предлагаемое решение полное и подробное. Таким образом, ребро тетраэдра равно sqrt((4r^2) / 3).

Обратите внимание, что данный ответ является формулой и содержит переменную r, которая является радиусом вписанной сферы. При данной формуле мы сможем найти длину ребра тетраэдра, зная радиус сферы. Это даст школьнику возможность самостоятельно решать подобные задачи, используя формулу.