Вправильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен альфа в пирамиду вписан шар радиусом r. найти объём пирамиды.

Проведем сечение пирамиды через высоту и cередину стороны основания. Получим сечение шара в виде круга, который касается основания в его центре Н и касается апофемы в точке К. ОН и ОК - радиусы шара, равны r. ОМ - биссектриса угла α.

r/tgα/2 =HM. Это радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, значит сторона основания  а = НМ*√3 = r√3/tgα/2.

Площадь треугольника равна а²√3/4 = 3√3r²/4tg²α/2.

Высоту пирамиды находим из треугольника НМS,

HS=HM*tgα = rtgα / tgα/2.

 Теперь объем v= 1/3 *  3√3r²/ 4tg²α/2 * rtgα/tgα/2 = r³√3 tgα/4tg³α/2.