Вправильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 8 см и наклонено к плоскости под углом 60 градусов. найти площадь поверхности пирамиды.

Для решения задачи, нам понадобятся знания о треугольных пирамидах, их боковых ребрах и площади поверхности. Пошагово решим задачу.

1. Запишем известные данные:
- Боковое ребро пирамиды равно 8 см.
- Боковое ребро наклонено к плоскости под углом 60 градусов.

2. Научимся находить высоту пирамиды:
- Разобьем боковое ребро пирамиды на две части. Одна часть будет равна половине бокового ребра, то есть 8 см / 2 = 4 см.
- Мы получили прямоугольный треугольник с катетами 4 см и высотой пирамиды.
- Зная, что наклонное ребро образует с плоскостью треугольника угол 60 градусов, мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением sin(60 градусов) = противолежащий катет / гипотенуза.
- Тогда, sin(60 градусов) = высота пирамиды / 8 см.
- Из этого выражения найдем высоту пирамиды: высота пирамиды = sin(60 градусов) * 8 см.

3. Найдем площадь основания пирамиды:
- В данной задаче основание пирамиды имеет форму треугольника.
- Для вычисления площади треугольника есть формула: площадь = (1/2) * основание * высота.
- В данном случае высота треугольника равна основанию, так как треугольник равнобедренный.
- Основание треугольника можно найти, используя теорему Пифагора, так как треугольник прямоугольный.
- Одна сторона равна половине бокового ребра, то есть 4 см.
- Вторая сторона можно найти, зная основание треугольника и одну из его высот.
- Подставим значения в формулу: площадь основания = (1/2) * 4 см * 4 см.

4. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:
- Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее треугольных боковых граней.
- У нас есть только одна треугольная боковая грань.
- Подставим значения в формулу: площадь боковой поверхности = площадь треугольной боковой грани = (1/2) * сторона * высота.

5. Найдем площадь поверхности пирамиды:
- Площадь поверхности пирамиды равна сумме площади ее основания и площади боковой поверхности.
- Подставим значения в формулу: площадь поверхности = площадь основания + площадь боковой поверхности.

Теперь мы можем приступить к вычислениям:

1. Находим высоту пирамиды:
- sin(60 градусов) = противолежащий катет / гипотенуза.
- sin(60 градусов) = высота пирамиды / 8 см.
- высота пирамиды = sin(60 градусов) * 8 см.
- Подставляем значение sin(60 градусов) ≈ 0.866: высота пирамиды ≈ 0.866 * 8 см ≈ 6.928 см.

2. Находим площадь основания пирамиды:
- площадь основания = (1/2) * 4 см * 4 см = 8 см^2.

3. Находим площадь боковой поверхности пирамиды:
- площадь боковой поверхности = площадь треугольной боковой грани = (1/2) * 8 см * 6.928 см ≈ 27.712 см^2.

4. Находим площадь поверхности пирамиды:
- площадь поверхности = площадь основания + площадь боковой поверхности = 8 см^2 + 27.712 см^2 ≈ 35.712 см^2.

Таким образом, площадь поверхности данной треугольной пирамиды составляет около 35.712 квадратных сантиметров.