Вправильной шестиугольной призме abcdefa1b1c1d1e1f1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11. а) докажите, что прямые ca1 и c1d1 перпендикулярны. б) найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины c, a1 и f1.

а) Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.

Прямая СА1 лежит в плоскости АСС1А1, прямая С1D1 эту плоскость пересекает в точке С1, не принадлежащей первой прямой;  по определению СА1 и С1D1 – скрещивающиеся. 

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку (определение).

Все углы правильного шестиугольника равны 120°, все его стороны равны.  

∆ А1В1С1 - равнобедренный, углы В1А1С1=В1С1А1=(180°-120°):2=30°. – угол D1C1А1=120°-30°=90°, угол СС1D1 прямой ( в правильной призме боковые грани - прямоугольники). ⇒

С1D1 перпендикулярна плоскости, в которой лежит прямая СА1. 

Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны.  F1A1║С1D1 и по свойству параллельных прямых также перпендикулярна плоскости АСС1А1, а, значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через А1. ⇒

Прямые F1A1║D1C1, следовательно, D1C1 перпендикулярна  СА1.

б) Данное сечение проходит через стороны  DC и и A1F1  оснований призмы. 

Проведём продолжения прямых FE и СD – они  пересекутся в точке K. Тогда K принадлежит плоскости сечения и плоскости FF1E1E.  Прямая F1K пересечет ребро ЕЕ1 в  точке Н.

Продолжим прямые DС и АВ до их пересечения в точке М. Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости АА1В1В. Проведя прямую А1М, получим точку её пересечения с  ребром ВВ1 в  точке Р. Шестиугольник А1F1HDCP  – сечение, площадь которого нужно найти.  

S А1F1HDCP =S (А1F1DС)+S ∆A1РС+S ∆F1HD  

∆ A1РС=∆F1HD  

В трапеции КFAM углы F и А=120°, следовательно,  углы при К и М=180°-120*=60°, ∠ВCМ =∠ЕDК и равны 60° как смежные углам при вершинах основания ⇒ ∆ СВМ равносторонний, СМ=СВ=5. 

В прямоугольном ∆ АА1М  т. В - середина катета,  АВ=ВМ, 

отрезок ВР || АА1⇒ ВР - средняя линия ∆ АА1М, а точка Р – середина гипотенузы А1М треугольника А1СМ. ⇒

СР медиана ∆ А1СМ, из чего следует S ∆A1CP= 0,5 S ∆ A1CM, а  сумма площадей двух равных  треугольников по бокам от прямоугольника DF1A1C равна полной площади ∆ А1СМ.

2S ∆А1СP=А1С•CM:2=14•5=70:2=35 

S A1F1DC=A1C•CD= 14•5=70

Sсечения =35+70=105 (ед. площади)

--------------------------------

Как вариант можно применить теорему о площади ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость. Площадь проекции  равна произведению площади самого сечения на косинус угла между плоскостью сечения  и плоскостью его проекции, откуда S сечения равно S(ABCDEF):cosA1CA

1).  Координатный метод.
Привяжем прямоугольную систему координат к вершине С.
В правильном шестиугольнике угол АСD=90°, <DCF=<DFC=30°.
Точки:С(0;0;0), А1(0;5√3;11), С1(0;0:11), D1(5;0;11).
Вектор СА1{0;5√3;11}.
Вектор C1D1{5;0;0}.
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение вычисляется по формуле: (a,b)=x1*x2+y1*y2+z1*z2.
В нашем случае:  
(CА1,C1D1)=0+0+0=0.
Скрещивающиеся прямые CA1 и C1D1 перпендикулярны, что и требовалось доказать.

2). Построение сечения.
Точка F1 принадлежит сечению и грани FF1E1E, Значит линия пересечения  пройдет через эту грань до встречи с прямой, содержащей ребро СD, в точке S. Проведя прямую F1S, получим точку P Точно так же находим точку Q на ребре ВВ1. Соединив полученные и имеющиеся точки С,Q,A1,F1,P и D, получим искомое сечение СQA1F1PD.
Площадь этого сечения равна площади прямоугольника CDF1A1 и площадей двух равных треугольников A1QC и F1PD.
Модуль (длина) вектора |СА1|=√[(Xa1-Xc)²+(Ya1-Yc)²+(Za1-Zc)²] или
|СА1|=√[(0-0)²+(5√3-0)²+(11-0)²]=√196=14.
Scdf1a1=CD*CA1=5*14=70.
В треугольнике ТВС <CBT=180-120=60, <TCB=90-30=60. Значит треугольник равносторонний и ТВ=ВС=ВА=5.
Треугольники TQB и ТА1А подобны с коэффициентом подобия k=1/2.
BQ=11:2=5,5. Итак, имеем точку Q(-2,5;2,5√3;5,5).
Есть формула вычисления площади треугольника, заданного координатами вершин, исходя из того, что площадь треугольника равна половине векторного произведения векторов, на которых построен векторный параллелограмм:
Формула для вычисления векторного произведения:
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.
Вектор СА1{0;5√3;11}. Вектор CQ{-2,5;2,5√3;5,5}.
Тогда векторное произведение векторов СА1хСQ равно:
{5√3*5,5-11*2,5√3; 11*(-2,5)-0; 0-5√3*(-2,5)}={27,5√3-27,5√3;-27,5;12,5√3}
Модуль |СА1хСQ|=√(0+756,25+468,75)=√1225=35.
Поскольку площадь треугольника равна половине векторного произведения, то площадь двух треугольников равна 35 ед².
ответ: S=70+35=105ед².