Вписанной окружностью треугольника называется окружность касающаяся одной стороны треугольники и продолжения двух других его сторон. радиусы вписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 23. найти расстояние между их центрами.

Такие окружности называются ВНЕвписанными, вписанной называется окружность, которая касается всех трех сторон.

Далее, у любого треугольника есть три вневписанных окружности, а заданы радиусы только двух. 

Я буду считать, что эти заданные окружности касаются катетов и продолжений другого катета и гипотенузы.

Поскольку каждая из этих окружностей касается сторон прямого угла, то центры их лежат на биссектрисе этих углов (поскольку углы эти вертикальные, у них даже биссектриса - одна :)), только по разные стороны от вершины прямого угла.

Поэтому (этого вполне достаточно) расстояния от вершины прямого угла до центров этих окружностей равны  7√2 и 23√2, а между центрами расстояние 30√2.