Впараллелограмме abcd биссектриса be угла abd перпендикулярна диагонали ac и равна 1/4ac. найдите стороны параллелограмма если известно, что be=6.

В параллелограмме ABCD биссектриса BE угла ABD перпендикулярна диагонали AC и равна 1/4AC. Найдите стороны параллелограмма если известно, что BE=6.

решение в приложении

ВЕ=АС/4=6 ⇒ АС=6•4=24

Пусть О - т.пересечения диагоналей. 

Диагонали  параллелограмма делятся пополам.

АО=24:2=12

Обозначим Н точку пересечения ВЕ и АО 

В ∆ АВО биссектриса ВН перпендикулярна основанию АО. ⇒  ВЕ - высота. 

Если биссектриса треугольника совпадает с высотой,  этот треугольник равнобедренный,  поэтому  ВН - медиана, и АН=НО=6

Проведем СК║ВЕ.  

АD=BC, ЕК=ВС. ⇒

Параллелограммы АВСD и ВСКЕ равновелики - 

высота DH  параллелограммов и сторона, BC, к которой эта высота проводится - общие.

           S АВСD=S BCKE 

В параллелограмме ВСКЕ  НС⊥ВЕ.⇒ НС - его высота. 

Ѕ (ВСКЕ)=СН•ВЕ=18•6=108 =Ѕ(ABCD)

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. 

Ѕ ∆ АВС=Ѕ АВСD:2=54⇒

BH=2S∆ ABC:2=108:24=4,5

Из прямоугольного ∆ АВС по т.Пифагора 

АВ=√(АН²+ВН²)=√56,25=7,5

Из прямоугольного ВНС по т.Пифагора 

ВС=√(CH²+BH²)=√344,25=4,5√17

АВ=CD=7,5; AD=BC=4,5√17