Воснові піраміди лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а. усі бічні грані піраміди утворюють з площиною основу кута в. знайдіть об'єм піраміди.

Катеты равны:a = c*sin α и b=c*cosα.

Площадь основания So =(1/2)ab = (1/2)*(c*sin α) *(c*cos α).

Домножим числитель и знаменатель на 2:

So = c²sin(2α)/4.

Переходим к определению высоты пирамиды.

Высоты боковых граней и их проекции на основание равны соответственно между собой. Последние -это радиусы r вписанной в основание окружности. Для прямоугольного треугольника:

r = (a + b - c)/2 = (c*sin α + c*cosα - c)/2 =  c*(sin α + cosα - 1)/2.

Высота пирамиды равна: Н = r*tg β = (c*(sin α + cosα - 1)*tg β)/2.

Объём пирамиды равен:

V = (1/3)SoH = (1/3)*(c²sin(2α)/4)*((c*(sin α + cosα - 1)*tg β)/2) =

                    = (c³sin(2α))*(sin α + cosα - 1)*tg β)/24.