Вколо радиуса 10см вписано ривносторонний трикутникю знайти його площу.

Надо найти связь между радиусом описанной вокруг правильного треугольника окружности и его стороной. 

Радиус описанной окружности равен расстоянию от точки пересечения медиан-биссектрис-высот до вершин, то есть 2/3 от высоты, а высота равна стороне, умноженной на √3/2 (то есть на синус 60 градусов). Поэтому сторона a равна

a = R*√3; 

(то же самое получится, если просто записать теорему синусов 2*R*sin(60) = a)

Итак, высота равна R*3/2 = 15; сторона 10*√3; отсюда площадь 15*10*√3/2 = 75*√3;

Известно, что сторону  а вписанного правильного тр-ка и радиус R окружности, в которую этот тр-к вписан, связывает следующее отношение:

а = R·√3

a = 10√3.

Полупериметр треугольника  р = (а + а + а):2 = 1,5 а

По формуле Герона площадь тр-ка:

S = √(p·(p-a)(p - a)(p - a) =

   = √(1,5a·0,5a·0,5a·0,5a) =

    = 0,25a²√3

Подставим a = 10√3 и получим:

S = 0,25·100·3√3 = 75√3(см²)