Вариант 2 Даны точки M(1;1) и N(4;-1) .

1. Напишите общее уравнение прямой MN.

2. Напишите уравнение прямой MN: a) с угловым коэффициентом;

б) в отрезках.

3. Напишите уравнение:

а) прямой KF, параллельной MN и проходящей че рез точку K(3;-3) , и укажите какую-либо точку F этой прямой, отличную от К;

б) прямой ОQ, проходящей через начало координат

и перпендикулярной MN.

4. Вычислите:

а) площадь треугольника МNF;

б) расстояние между прямыми KF и MN.

5. Для каждого числа R > 0 определите взаимное расположение окружности H * (x + 1) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = R ^ 2 и прямой MN.

6. Найдите геометрическое место точек Р таких,

что:

a) MP = NP

6) NP = 2MP ;

B M * P ^ 2 + N * P ^ 2 = 17 .

рчрспн

Объяснение:

гагарчовгмгсгсрсос рсгсрчнчр рчи рср рпчр п & *6"& 7 &:& 6"*& 6$& ^"&

Хорошо, давайте решим эту задачу.

1. Чтобы найти общее уравнение прямой MN, нужно воспользоваться формулой для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Общее уравнение прямой имеет вид Ax + By + C = 0, где A, B и C - это коэффициенты, которые мы должны найти.

Для начала найдем угловой коэффициент прямой MN.
Угловой коэффициент можно найти, используя формулу:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1),

где (x1, y1) и (x2, y2) - это координаты заданных точек.
Применяя эту формулу, получаем:
m = (-1 - 1) / (4 - 1) = (-2) / 3.

Теперь, имея значение углового коэффициента, мы можем найти коэффициенты A, B и C.
2. а) Уравнение прямой MN с угловым коэффициентом m принимает форму:
y - y1 = m(x - x1),
где (x1, y1) - это координаты одной из заданных точек.

Подставим коэффициенты и координаты точки (x1, y1), чтобы найти уравнение прямой MN:
y - 1 = (-2 / 3)(x - 1).
Раскроем скобки:
3y - 3 = -2x + 2.
Добавим 2x и вычтем 3 из обеих частей:
2x + 3y - 3 = 0.

б) Теперь найдем уравнение прямой MN в отрезках.
Уравнение прямой в отрезках имеет вид:
(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1).

Подставим координаты точек M(1,1) и N(4,-1) в эту формулу:
(x - 1) / (4 - 1) = (y - 1) / (-1 - 1).

Раскроем скобки:
(x - 1) / 3 = (y - 1) / (- 2).
Умножим обе части уравнения на 3 и на -2, соответственно:
-2(x - 1) = 3(y - 1).
Раскроем скобки:
-2x + 2 = 3y - 3.
Добавим 2x и вычтем 3 из обеих частей:
2x - 3y + 5 = 0.
Таким образом, уравнение прямой MN в отрезках равно 2x - 3y + 5 = 0.

3. а) Для того чтобы найти уравнение прямой KF, параллельной MN и проходящей через точку K(3,-3), мы можем использовать тот факт, что параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.

Угловой коэффициент прямой MN мы уже нашли ранее и он равен -2/3. Поскольку прямая KF параллельна MN, она будет иметь такой же угловой коэффициент.

Используя формулу для нахождения уравнения прямой, зная угловой коэффициент и точку К(3,-3), мы можем записать:
y - y1 = m(x - x1).
Подставим значения в формулу:
y + 3 = (-2 / 3)(x - 3).
Раскроем скобки:
3y + 9 = -2x + 6.
Добавим 2x и вычтем 9 из обеих частей:
2x + 3y - 15 = 0.

чтобы найти точку F, мы можем произвольно выбрать другую точку на прямой KF. Давайте возьмем точку G(1,1), которая также лежит на прямой MN.

Расположение точки F лежит между точками K и G. Мы можем использовать формулу для нахождения координат точки по отрезку, чтобы найти координаты точки F:
x = (x1 + x2) / 2,
y = (y1 + y2) / 2.

Подставим координаты точек K(3,-3) и G(1,1) в эти формулы:
x = (3 + 1) / 2 = 2,
y = (-3 + 1) / 2 = -1.

Таким образом, точка F имеет координаты F(2,-1).

б) Для нахождения уравнения прямой ОQ, проходящей через начало координат и перпендикулярной прямой MN, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярных прямых, которое гласит, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1.
Угловой коэффициент прямой MN мы уже нашли и он равен -2/3, поэтому угловой коэффициент прямой ОQ будет 3/2 (обратная величина и противоположного знака).

Таким образом, уравнение прямой ОQ примет вид y = (3/2)x.

4. Окей, теперь перейдем к вычислениям.

а) Чтобы найти площадь треугольника МNF, мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника, которая гласит, что площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты.

Основание треугольника МNF - это отрезок MN, а его длина равна расстоянию между точками M(1,1) и N(4,-1).
Длина основания MN можно найти, используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Подставим координаты точек M(1,1) и N(4,-1) в эту формулу:
d = √((4 - 1)^2 + (-1 - 1)^2) = √(9 + 4) = √13.

Теперь нам нужно найти высоту треугольника МNF. В данном случае, высота треугольника является перпендикуляром от точки F(2,-1) до прямой MN.

Уравнение прямой MN мы уже нашли ранее в пункте 2б) и оно равно 2x - 3y + 5 = 0. Поскольку нам нужно найти перпендикуляр к этой прямой, мы можем обратить угловой коэффициент и изменить его знак: -2/3.

Подставим координаты точки F(2,-1) и угловой коэффициент -2/3 в формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентов:
y - y1 = m(x - x1).

y + 1 = (-2/3)(x - 2).
Раскроем скобки:
3y + 3 = -2x + 4.
Добавим 2x и вычтем 3 из обеих частей:
2x + 3y - 1 = 0.

Теперь нам понадобится найденная прямая и прямая MN для нахождения точки пересечения перпендикуляра и основания треугольника.

Решим систему уравнений:
2x + 3y - 1 = 0,
2x - 3y + 5 = 0.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания уравнений.

Давайте воспользуемся методом сложения/вычитания.
Умножим уравнение 2x - 3y + 5 = 0 на 3 и умножим уравнение 2x + 3y - 1 = 0 на 2, чтобы уравнять коэффициенты при y:
6x - 9y + 15 = 0,
4x + 6y - 2 = 0.

Теперь сложим оба уравнения, чтобы устранить y:
(6x - 9y + 15) + (4x + 6y - 2) = 0
10x + 6 = 0.
Вычтем 6 из обеих частей:
10x = -6,
x = -6/10 = -3/5.

Теперь найдем y:
2x + 3y - 1 = 0,
2(-3/5) + 3y - 1 = 0,
-6/5 + 3y - 1 = 0,
3y - 6/5 = 1,
3y = 6/5 + 1,
y = (6/5 + 5/5) / 3,
y = 11/15.

Таким образом, точка пересечения прямой KF и основания треугольника равна P(-3/5, 11/15).

Подставим найденные значения координат точек M(1,1), N(4,-1) и P(-3/5, 11/15) в формулу для нахождения площади треугольника:
S = (1/2) * base * height,
S = (1/2) * √13 * |(1/5)*(1+3*(-3/5)) + (1/15)*(1+4*(11/15))|.
Применяя математические операции:
S = (1/2) * √13 * |(-1/5) + (1/15)|,
S = (1/2) * √13 * (|-1/5| + |1/15|),
S = (1/2) * √13 * (1/5 + 1/15),
S = (1/2) * √13 * (3/15 + 1/15),
S = (1/2) * √13 * (4/15),
S = (2/15) * √13.

Таким образом, площадь треугольника МNF равна (2/15) * √13.

б) Чтобы найти расстояние между прямыми KF и MN, нам нужно найти расстояние между точкой F(2,-1) и прямой MN.
Мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между точкой и прямой:
d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2),

где A, B и C - это коэффициенты общего уравнения прямой MN, которые мы нашли ранее.

Подставим коэффициенты A, B и C в формулу:
d = |(2)(2) + (3)(-1) + (-1)(-3)| / √((2)^2 + (3)^2).
Выполним вычисления:
d = |4 - 3 + 3| / √(4 + 9),
d = |4| / √13,
d = 4 / √13,
d = (4√13) / 13.

Таким образом, расстояние между прямыми KF и MN равно (4√13) / 13.

5. Для каждого числа R > 0, мы должны определить взаимное расположение окружности и прямой MN.

Уравнение окружности имеет вид:
(x + 1) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = R ^ 2.

Чтобы узнать, какая точка лежит внутри, на окружности или вне окружности, мы можем подставить координаты точки в уравнение окружности и сравнить полученное значение с R.
- Если полученное значение меньше R, то точка лежит внутри окружности.
- Если полученное значение равно R, то точка лежит на окружности.
- Если полученное значение больше R, то точка лежит вне окружности.