В треугольнике АВС найди сторону AC, если угол B = 30°, угол A = 105°, AB = 10√2. По теореме о сумме углов треугольника:

угол C = 180° – (угол A + угол B)=​

Чтобы найти сторону AC треугольника ABC, нам понадобится использовать законы синусов или косинусов. В данном случае, для решения задачи будет удобно использовать закон косинусов.

Закон косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус их общего угла.

Итак, у нас есть треугольник ABC, в котором известны значения угла B, угла A и стороны AB. Наша цель - найти сторону AC.

1. Запишем формулу закона косинусов для стороны AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(BAC)

2. Подставим известные значения:
AC^2 = (10√2)^2 + BC^2 - 2 * (10√2) * BC * cos(105°)

3. Упростим выражение:
AC^2 = 200 + BC^2 - 20√2 * BC * cos(105°)

4. Далее, нам нужно найти значение стороны BC. Мы можем воспользоваться тем фактом, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. То есть, угол C равен:
угол C = 180° - (угол A + угол B)
угол C = 180° - (105° + 30°)
угол C = 180° - 135°
угол C = 45°

5. Подставим новое значение угла C в формулу закона косинусов:
AC^2 = 200 + BC^2 - 20√2 * BC * cos(45°)

6. Продолжим упрощать выражение:
AC^2 = 200 + BC^2 - 20√2 * BC * (1/√2)

7. Упростим дальше:
AC^2 = 200 + BC^2 - 20BC

8. Поскольку нас интересует только сторона AC, мы можем проигнорировать значение BC и записать уравнение без него:
AC^2 = 200 - 20AC

9. Теперь решим полученное уравнение:
AC^2 + 20AC - 200 = 0

10. Это уравнение можно решить с помощью факторизации или с использованием квадратного корня. Для упрощения решения, введем новую переменную x вместо AC:

x^2 + 20x - 200 = 0

11. Мы можем факторизовать это уравнение следующим образом:
(x - 10)(x + 30) = 0

12. Получается два возможных значения для x: x = 10 и x = -30. Однако, поскольку длина стороны не может быть отрицательной, мы выбираем только положительное значение x = 10.

13. Итак, сторона AC равна 10 единиц.

Ответ: сторона AC треугольника ABC равна 10 единиц.