. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найдите АС и расстояние от точки D до стороны ВС.

Для решения этой задачи, возможно использовать теорему синусов и теорему косинусов.

1. Найдем длину стороны AC с использованием теоремы синусов. Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны к синусу её противолежащего угла в треугольнике равно для всех трёх сторон:
AC/sin(∠A) = DA/sin(∠D)
AC/sin(90°) = 4/sin(30°)
AC = 4*sin(90°)/sin(30°)
AC = 4*(1)/(1/2)
AC = 8 см

2. Найдем длину стороны BC с использованием теоремы косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат длины стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2*AC*AB*cos(∠A)
BC^2 = 8^2 + AB^2 - 2*8*AB*cos(90°)
BC^2 = 64 + AB^2 - 0
BC^2 = 64 + AB^2
AB = √(BC^2 - 64)

3. Зная, что ∠B = 60° и ∠A = 90°, находим значение ∠C, так как сумма углов треугольника равна 180°:
∠C = 180° - ∠A - ∠B
∠C = 180° - 90° - 60°
∠C = 30°

4. Найдем высоту треугольника из точки D до стороны BC, обозначим ее HD. Используем тригонометрическую функцию синуса, где она гласит, что отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла:
HD/AC = sin(∠C)
HD/8 = sin(30°)
HD = 8*sin(30°)
HD = 8*(1/2)
HD = 4 см

5. Теперь найдем расстояние от точки D до стороны BC. Обозначим это расстояние как GD. Так как ∠DGC = 90°, и GD является высотой треугольника GDC, GD равен HD. Таким образом, GD = 4 см.

Таким образом, мы нашли AC = 8 см и расстояние от точки D до стороны BC равно GD = 4 см.