В трапеции ABCD основание AD в 2 раза больше основания BC. Точка M - середина стороны AB. Докажите, что площадь треугольника AMD в 3 раза меньше площади трапеции. ​

Cм. рис.1.

Так как ABCD трапеция, ( BC|| AD), то и треугольники BPC и APD подобны.

Из подобия следует пропорциональность сторон.

AP:BP=DP:CP=AD:BC

По условию

AD в два раза больше основания BC.

Значит, AB=BP и DC=CP,

т.е. В – середина BР, а С – середина DP.

MB и MC – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника APD, а значит, точка M – центр окружности, описанной около Δ APD

АM = DM =R.

б)

Pасстояние от точки M до стороны AD равно высоте В равнобедренного Δ AMD.

По условию MK=BC; AD=2BC

Значит АК=КD=MK

Треугольники АКМ и DKM – прямоугольные, равнобедренные.

∠ МАК= ∠ MDK=45 °.

Значит ∠ AMD=90 °

См. рис. 2

∠ AMD – центральный угол, измеряется дугой, на которую опирается.

∠ APD – вписанный угол, измеряется половиной дуги, на которую опирается

∠ APD =45 °.

Сумма углов треугольника APD равна 180 °, значит

∠ BAD=180 ° – ∠ APD – ∠ ADP=180 ° – ∠ APD – ∠ ADC=180 °– 45 ° – 70 ° = 65 °.

О т в е т. ∠ BAD= 65 °.