В системе координат заданы три точки: A(5;4,8); B(6;4,8); C(5;7,8). Вычислить объём тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат.

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово:

1. Сначала построим треугольник ABC на координатной плоскости. Точки A(5;4,8), B(6;4,8) и C(5;7,8) имеют следующие координаты: A(5, 4.8), B(6, 4.8) и C(5, 7.8).

2. Теперь нарисуем ось ординат (ось Y), которая является вертикальной осью на координатной плоскости.

3. Объем тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, можно вычислить с помощью интеграла по следующей формуле: V = ∫(от a до b)πy^2dx, где a и b - границы разбиения интеграла, а y - ордината точек нашего треугольника.

4. Найдем границы a и b разбиения интеграла. В данной задаче, чтобы охватить все точки треугольника, возьмем a = 4.8 и b = 7.8 (наименьшая и наибольшая ординаты точек треугольника соответственно).

5. Теперь подставляем все значения в формулу и начинаем решение: V = ∫(от 4.8 до 7.8)πy^2dx.

6. Интегрируем по переменной x, так как вращение происходит вокруг оси ординат. Получаем V = ∫πy^2dx (от 4.8 до 7.8).

7. Выполняем интегрирование. Обратите внимание, что в этой задаче у нас нет переменной x, так как мы интегрируем только по ординате. Поэтому ∫dx превратится в простое умножение (b - a). Получаем V = π(b - a)∫y^2dx.

8. Теперь интегрируем только по ординате. Подставляем границы интегрирования (4.8 и 7.8). Получаем V = π(7.8 - 4.8)∫y^2dx.

9. Интегрируем y^2 по y. Получаем V = π(7.8 - 4.8)∫y^2dy.

10. Выполняем интегрирование. Интеграл ∫y^2dy равен (1/3)y^3. Получаем V = π(7.8 - 4.8)(1/3)y^3.

11. Подставляем границы интегрирования (4.8 и 7.8). Получаем V = π(7.8 - 4.8)(1/3)(7.8^3 - 4.8^3).

12. Вычисляем значения внутри скобок: V = π(7.8 - 4.8)(1/3)(474.552 - 110.592).

13. Упрощаем: V = (π)(3)(363.96).

14. Выполняем вычисления: V ≈ 3426.579.

Таким образом, объем тела, полученного вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, составляет примерно 3426.579 единиц объема.