В равностороннем треугольнике ABC со стороной \sqrt{3} проведены три биссектрисы AN, BH и CM. Найдите периметр треугольника ALH.


В равностороннем треугольнике ABC со стороной проведены три биссектрисы AN, BH и CM. Найдите периме

blacktop57 blacktop57    3   25.08.2020 02:02    0

Ответы
AnastasiaHCWP AnastasiaHCWP  25.08.2020 06:01

В равностороннем треугольнике АВС со стороной, равной √3, проведены три биссектрисы : AM, BH, CK. Найдите периметр треугольника ALH.

- - -

Дано :

ΔАВС - правильный (равносторонний).

АВ = √3.

АМ, ВН, СК - биссектрисы.

АМ ∩ ВН ∩ СК = L.

Найти :

Р(ΔALH) = ?

АВ = ВС = АС = √3 (по определению равностороннего треугольника).

В правильном треугольнике все его биссектрисы являются медианами и высотами.

Соответственно, по определению медианы треугольника -

АН = НС = \frac{\sqrt{3} }{2}.

Рассмотрим ΔALH - прямоугольный (так как ∠AHL= 90° по определению высоты).

В равностороннем треугольнике все углы равны по 60°.

То есть ∠А = 60°.

По определению биссектрисы треугольника -

∠ВАМ = ∠МАС = 60°/2 = 30°.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника -

Cos(\angle LAH) = \frac{AH}{AL}\\\\Cos(30^{\circ} ) = \frac{\frac{\sqrt{3} }{2} }{AL} \\\\\ \frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{\frac{\sqrt{3} }{2} }{AL}\\\\AL\sqrt{3} = \sqrt{3} \\\\\boxed{AL = 1}

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузе.

Отсюда -

LH = 0,5*AL = 1*0,5 = 0,5.

Периметр - это сумма длин всех сторон.

Отсюда -

Р(ΔALH) = LH + AL + AH = 0,5 + 1 + \frac{\sqrt{3} }{2} = 1,5 + \frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{3+\sqrt{3} }{2}.

\frac{3+\sqrt{3} }{2} (ед).

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Геометрия