) В равнобедренной трапеции с основаниями 3см и 6 см диагональ образует с ее основаниями угол в 45⁰. Найдите высоту трапеции.

В равнобедренной трапеции диагонали равны и точкой пересечения делятся попарно на равные отрезки. То есть ВО=СО; МО=АО.

Тогда ∆ВОС и ∆АОМ – равнобедренные с основаниями ВС и АМ соответственно.

Следовательно угол ВСО=угол СВО=45° и угол МАО=угол АМО=45°.

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°

Тогда угол ВОС=180°–угол ВСО–угол СВО=180°–45°–45°=90°;

Угол АОМ=180°–угол МАО–угол АМО=180°–45°–45°=90°.

Следовательно треугольники ВОС и АОМ – прямоугольные с прямыми углами ВОС и АОМ соответственно.

В прямоугольном треугольнике ВОС по теореме Пифагора:

ВС²=ВО²+СО²

Пусть ВО=СО=х

3²=х²+х²

2х²=9

х²=4,5

х=√4,5

Тоесть СО=√4,5 см

В прямоугольном ∆АОМ по теореме Пифагора:

АМ²=АО²+МО²

Пусть АО=МО=у

6²=у²+у²

2у²=36

у=√18

Тоесть МО=√18 см

Угол СОМ=180°–угол АОМ=180°–90° (так как углы смежные)

Тогда ∆СОМ – прямоугольный с прямым углом СОМ.

Тогда в прямоугольном треугольнике СОМ по теореме Пифагора:

СМ²=СО²+МО²

СМ²=4,5+18

СМ=√22,5

Проведём высоты СР и ВН к стороне АМ.

Высоты трапеции, проведенные из концов одного основания, к другому, паралельны и равны.

Углы образованные высотой и стороной, к которой проведена высота, прямые;

Тогда ВСРН – прямоугольник, следовательно НР=ВС=3.

Получим два прямоугольных треугольника СРМ и ВНА.

СР=ВН так как высоты трапеции равны, АВ=СМ как боковые стороны равнобедренной трапеции

Значит треугольники СРМ и ВНА равны как прямоугольные по гипотенузе и катету.

Следовательно РМ=АН как соответственные катеты.

Тогда РМ+АН=2РМ.

АМ=АН+НР+РМ

АМ=НР+2РМ

6=3+2РМ

РМ=1,5

В прямоугольном треугольнике СРМ по теореме Пифагора:

СМ²=СР²+РМ²

СР²=СМ²–РМ²

СР²=22,5–2,25

СР²=20,25

СР=4,5

ответ: 4,5 см