В равнобедренном треугольнике проведены биссектрисы углов, прилежащих к основанию. Определи длину биссектрисы угла ∡A, если длина биссектрисы угла ∡C равна 14 см.
Pazime21_uzd.png
Рассмотрим треугольники ΔDAC и Δ.

(Все углы и стороны нужно записывать большими латинскими буквами.)

1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника,
. Так как данный треугольник равнобедренный, то ∡B
= ∡BCA.

2. Так как проведены биссектрисы этих углов, справедливо, что ∡ =∡DAC=∡DCE= ∡ .

3. У рассматриваемых треугольников общая сторона
.
Значит, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
У равных треугольников равны все соответствующие элементы, в том числе стороны
=
.

Длина искомой биссектрисы
см

Для того чтобы найти длину биссектрисы угла ∡A, нам необходимо воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и фактом, что проведены биссектрисы углов, прилежащих к основанию.

1. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что углы, прилежащие к основанию, равны между собой. То есть ∡B = ∡BCA.

2. Так как проведены биссектрисы этих углов, то они делят соответствующие углы на две равные части. Поэтому имеем ∡DAC = ∡DCE = ∡.

3. Обратимся к рассмотрению треугольников ΔDAC и ΔDCE. В этих треугольниках мы видим, что у них общая сторона DC и две равные стороны DA и DE. Значит, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

4. Так как треугольники равны, то соответствующие элементы равны между собой. В данном случае это стороны DB и BC. Поэтому можем записать равенство DB = BC.

5. Теперь у нас есть два треугольника ΔABC и ΔDCE с равными сторонами AB = DE и DB = BC. Мы также знаем, что сторона CE равна 14 см, так как это длина биссектрисы угла ∡C.

6. Мы можем составить уравнение AB + BC + AC = AD + DB + DC по полученным данным и искомой биссектрисе AC.

7. Заменяем известные значения: AB + BC + AC = AD + DB + DC, AB + AB = AD + BC + 14 (так как AB = DE, DB = BC и AC = 14).

8. Упрощаем уравнение: 2AB = AD + BC + 14.

9. Замечаем, что треугольники ΔADC и ΔABC имеют общую высоту AD и равны по площади.

10. Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на длину соответствующей высоты. Поэтому имеем S(ΔADC) = S(ΔABC).

11. Заменяем известные значения: 0.5 * AC * AD = 0.5 * AB * DC.

12. Упрощаем уравнение: AC * AD = AB * DC.

13. Подставляем в полученное уравнение известные значения: AC * AD = AB * DC, AC * AD + AB * AB = AB * DC + AB * AB.

14. Делаем замену из шага 8: AC * AD + 2AB * AB = AB * DC + AB * AB.

15. Делим уравнение на AB: AC * AD/AB + 2AB = DC + AB.

16. Замечаем, что AC * AD/AB равно 2, так как равны соответствующие стороны треугольников ΔADC и ΔABC.

17. Подставляем полученное значение: 2 + 2AB = DC + AB.

18. Упрощаем уравнение: 2AB + AB = DC.

19. Выражаем AB через DC: 3AB = DC.

20. Делим обе части уравнения на 3: AB = DC/3.

Таким образом, мы получили, что длина биссектрисы угла ∡A равна DC/3.
Ответ: Длина биссектрисы угла ∡A = 14/3 см.